概率论与数理统计教学案例的选取与设计初探

摘要：目前，如何选取与设计合适概率论与数理统计课程教学案例尚在探究中，本文针对《概率论与数理统计》课程特点，结合案例教学实践，着重探讨教学案例选择与设计要点和方法，提出案例选取与设计应关注的5个要点。力图使教学案例成为各重点相关概念的结合点，成为引导学生研讨应用概率论与数理统计思想方法、定理、公式的平台，加强培养学生解决实际问题的数学能力。

关键词：概率论与数理统计 教学案例选取与设计 数学实验

中图分类号：G624 文献标识码：A DOI：10.3969/j.issn.1672-8181.2014.01.036

1 引言

案例教学是指教师根据教学目的选择或编写案例，提供具体真实的场景，让学生把自己纳入案例场景，并在教师组织与指导下，通过自主积极思考，讨论或者研讨，提出解决问题的方法来进行学习的一种教学方法。它强调以学生为主体，以培养学生的自主学习能力、实践能力和创新能力为目的[1]。目前，案例教学在临床、法学、管理等课程的应用，已取得很好的效果。

概率论与数理统计作为应用数学的一门分支，在生产、科研、经济等领域有着广泛的应用，与人们日常生活密切相关，是具有强烈实际背景的数学课程，为课程引入案例教学提供了相当有利的条件。

通常，案例教学分为几个阶段：教师编写案例——分发案例，学生自行准备——小组讨论案例——小结。案例分为教学案例和研究案例。教学案例的选取或编写、设计又分为几个阶段：明确案例编写目标——选取素材——编写设计案例。其中，案例的选取与设计是案例教学的基础，而选取与设计合适的案例则是有效进行案例教学的一个关键环节。

如何针对概率论与数理统计课程特点，选取与设计合适的教学案例，解决学生在学习中出现的难理解、缺乏兴趣等问题，目前尚在探索之中。下面结合本人在实际教学中的体会，探讨概率论与数理统计教学案例选取与设计的要点和方法。

2 案例素材的选取

案例教学的主体是学生，通过学生之间主动、积极的讨论，达到学习相关的理论、定理、法则、方法与思想的目的。那么在教学中引入的案例，应能引起学生兴趣与探索的欲望，能调动学生参与讨论、学习的主动性和积极性。因此，案例的素材选取应侧重以下两个方面。

2.1 充分呈现课程理论的发展史，激发学生学习的兴趣

在案例教学中，选取概率论与数理统计发展史上有趣的典型案例，将课程的学习融入概率论与数理统计发展史中，增强学习的趣味性。如在学习数学期望这个概念时，可选取合理赌金分配案例。本案例源于1652年前后，贵族梅累向帕斯卡请教的关于合理分配赌金的问题。为解决这个问题，数学家们展开了对概率论及组合数学的研究。费马利用组合学方法，帕斯卡利用算术方法都得到这一问题的正确结果；随后，1657年荷兰数学家惠更斯引进数学期望的概念解决赌金分配问题[2]。

通过该案例，让学生在浓厚兴致的情绪中了解概率论的起源和发展，数学期望概念的来龙去脉，加深对数学期望概念意义的理解，并引导学生如何应用数学期望的概念，解决实际生活中类似赌金合理分配的问题。同时还能让学生在愉快的气氛中，感受随机数学的思想方法，体会了概率学的规律：提出问题—解决问题—抽象出概念或归纳出命题—证明命题。

2.2 客观真实，注重与专业知识、社会热点、日常生活结合，突出课程的实用性

概率论与数理统计是认识理解随机世界的一把钥匙。概率论是揭示研究随机现象的学科；数理统计是概率论的理论为基础，通过收集、整理、分析数据，从而做出决策与判断的学科。其中的思想方法、原理、公式法则 等理论，大部分来源于实践并广泛运用于实际生活。

如公平抽签问题：抽签是一种博弈，几乎人人都有这样的经验，申购新股摇号抽签，公务员面试考官、考生的双抽签、实验课考查抽签，那么抽签的结果与抽签顺序是否有关？

如概率与彩票、保险精算、 癌症检验呈阳性时癌病的发病概率等等，这些案例素材都为学生或熟悉或关心的事件。

诸如此类的案例素材反映了概率论与数理统计思想方法在不同领域应用。因此，在教学案例中尽可能选取贴近社会热点及日常生活案例素材，最能够触发学生学习欲望，克服对本课程的畏惧心理，使学生在体会概率论与数理统计的基本概念、定理、公式产生过程中，培养学生抽象概括，严谨推理论证以及解决实际问题的数学能力。

3 案例编写与设计

案例是实现案例教学的载体，是为完成一个教学目的而设置的。而一个合适课程教学的案例，必须考虑本课程的特点，能清晰说明一个概念、定理法则或方法；必须兼顾学生的知识结构、学习等综合能力，以学生为本，以教学计划为指导，难易适中；必须考虑课程知识点之间的联系，承前启后；必须考虑课程的学习进度及可操作性。因此，在案例设计时，注意以下三点。

3.1 明确案例编写目标，突出教学重点，难易适中

教学案例可分为简单案例与综合案例。在编写案例时，首先要明确案例编写的目标，使之变成可操作的具体要求。即应根据我们的教学目的，课程学习的内容，学生掌握知识水平等具体情况，确定案例编写的目标和类型。再根据课程学习的内容，选取合适的案例素材，通过设置的问题，控制案例的难易度，使之成为符合教学目的、突出教学重点的教学案例。

如在编写条件概率、全概率公式教学案例时，我们首先要明确教学目的：通过学习，学生能熟练掌握条件概率、全概率公式相关概念及其应用。二是评估学生掌握知识水平：培训对象为刚刚开始学习概率论与数理统计课程的本科二年级学生，他们掌握的概率知识相对较少，运用概率随机思想方法分析问题解决问题的能力及综合学习能力较为薄弱。确定案例编写目标是：让学生置身于该案例场景，通过自行准备阶段的预习与查阅资料，课堂讨论的相互学习，达到设置的教学目的，同时对事件的独立性、互斥事件与独立事件的关系有个初步的认识。

根据上述案例编写需求分析，可选用和设计下面相对较为简单的教学案例：

案例1抽签的公平性。

班里有50名同学，仅有一张参加《快乐大本营》节目的票，现在决定用抽签决定机会归谁。问中签概率与抽的顺序是否有关。

该教学案例设计时为了突出教学的重点，弱化复杂的概率计算，仅对一张票的中签概率进行讨论。但作为本次学习内容的拓展，可以要求学生在课后，对有2张票以及更一般地，有k（1

又如在编写参数假设检验案例时，我们的目标是：通过案例学习，使学生进一步理解掌握各种检验法、特别是总体均值差T检验法与配对数据T检验法适用条件及在实际中的应用。此时，学生已基本完成概率论与数理统计课程的学习，初步了解掌握了正态总体均值及方差假设检验方法，掌握MATLAB简单编程及各种参数检验函数、分布拟合检验函数的基本使用；学生分析、解决问题以及学习能力有了较大的提高。根据上述案例编写需求分析，可设计下面的案例作为参数检验的综合教学案例。

案例2 确定两组评酒员的评价结果有无显著性差异（改编于2012全国大学生数学建模竞赛A题，相关数据来自竞赛题附件）。

确定葡萄酒质量时一般是通过聘请一批有资质的评酒员进行品评。每个评酒员在对葡萄酒进行品尝后对其分类指标打分，然后求和得到其总分，从而确定葡萄酒的质量。根据附件给出的数据，分析两组评酒员对白葡萄酒的评价结果有无显著性差异。

3.2 案例的编写要循序渐进，难点分散

概率论与数理统计是一门理论性很强的应用数学课程，各部分的理论知识联系紧密，在教学中，对课程的内容及知识点要有个整体的把握，对运用案例教学的内容有一个整体的规划，遵循循序渐进，难点分散的原则，同时，案例的编写尽可能注意其延续性[3]。

下面3个教学案例均改编于2009年全国大学生数学建模竞赛B题，相关数据来自竞赛题附件，每个案例只解决一个问题，每个案例的知识点又相互联系，逐个递进，由浅入深。

案例3-1判断及验证眼科门诊人数、各种眼疾病门诊人数概率分布，术后住院天数概率分布。

教学目的：通过该案例理解掌握常用概率分布性质及特征，并能运用MATLAB软件对结论给出验证。

案例3-2 研究门诊平均候诊人数及各种眼疾病患者术后住院平均天数概率分布。

教学目的：通过该案例理解掌握中心极限定理，并为后续的置信区间估计案例学习做准备。

案例3-3 讨论门诊平均候诊人数、各种眼疾病患者术后住院平均天数95%的置信区间。

教学目的：通过该案例掌握置信区间估计概念与方法及如何估计来自非正态总体样本的置信区间。

3.3 案例编写设计与数学实验课有效结合，使案例教学能顺利实施

目前，在实施案例教学过程中，存在几个必须正视的困难。

第一，数理统计是一门通过收集、整理、分析数据，从而推断随机现象的学科。这决定了本课程部分的教学案例将涉及大量的数据处理，没有学生掌握相关的数学软件的支持，案例教学很难达到预期的效果。

其二，案例教学所涉及本课程相关知识与教学大纲及授课安排不匹配，存在滞后现象。

其三，案例教学，不但需要教师与学生课外花费较多的时间准备，仅课堂讨论，尤其对人数较多的班级来说，其所耗时间将可能影响教学计划顺利完成。

因此要顺利开展案例教学，不仅需要对教材内容及教学方法进行优化整合，还需要调整数学实验课与概率论与数理统计课程的教学进度匹配。更重要的是要在教学案例编写设计时，协商统筹考虑实验课的匹配设计。精心设计实验课的实验内容，使其能配合、辅助理论课程的教学。

如案例3-1中给出的数据，不仅量大，而且不能直接运用。我们把读入数据，建立每天门诊人数、各种眼病患者术后住院天数矩阵作为MATLAB的基本应用的实验题；这样，同时兼顾数学实验教学及案例教学，解决数据量基本处理工作的难题。

在案例教学中，不可避免涉及对数据进行正态性检验及概率分布拟合检验问题，但根据大纲，分布拟合检验是本课程最后一部分内容，由于课时限制，其列为自学内容，不能满足案例教学需要。解决方案之一，是在学习随机变量分布之后，数学实验课介绍MATLAB分布拟合检验函数的应用，并把对案例3相关数据分布拟合检验包括正态分布检验作为实验内容。

又如在学习中心极限定理时，数学实验课同步让学生依据定理，并运用案例3中给出的数据，自行设计一个验证中心极限定理实验。如此不但使学生加深对中心极限定理的理解，减少理论课授课时间，同时更有效地对案例3-2展开讨论。

总之，教学案例的选取与设计，要充分与数学实验课整合，解决案例教学过程中存在的数据处理、课时限制、知识结构问题，实验课与理论课相辅相成，取得事半功倍的效果。

4 结束语

选取与设计合适概率论与数理统计教学的案例，是本课程开展案例教学的基础，是有效进行案例教学的关键环节。案例选取与设计思想：要以学生为本，以教学计划为指导，难易适中，能清晰说明一个概念、定理法则或方法，使教学案例成为各重点相关概念的结合点，成为引导学生探讨应用概率论与数理统计思想方法、定理、公式的平台，成为提升学生解决实际问题的数学能力的着力点。

而选取与设计一个合适课程教学的案例，必须考虑课程特点，必须考虑课程知识点之间的联系，必须统筹相关课程的学习内容及进度，必须兼顾学生的知识结构、学习等综合能力。案例素材选取要客观真实，注重与专业知识、社会热点、日常生活结合，突出课程的实用性；充分呈现课程理论的发展史，激发学生学习的兴趣。案例设计要明确编写目标，突出教学重点，难易适中；遵循“循序渐进，难点分散”原则；统筹数学实验设计，保障案例教学有效实施。

目前，概率论与数理统计案例教学尚处于起步阶段，教学案例选取及编写设计尚在探索中。广泛开展概率论与数理统计案例选取与设计方法的研究，应是当前推动概率论与数理统计案例教学深入发展的重点工作。

本文是笔者在教学中的一点体会，意在抛砖引玉。

参考文献：

[1]赵洪.研究性教学与大学教学方法的改革[J].高等教育研究，2006，（2）.

[2]粱宗巨，王青建，孙宏安.世界数学通史（下）[M].辽宁教育出版社，2001.

[3]杨丽.案例教学在VB程序设计课程中的应用[J].科技信息（学术研究），2007，（36）：183.

作者简介：符晓明，海南医学院信息技术部，海南海口 571199

魏传安，海南医学院信息技术部，海南海口 571199

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