抽屉与鸽巢

薯条们，在前面的《二桃杀三士》中我们知道抽屉原理。抽屉原理是组合数学的一个基本原理，它其实也是奥数竞赛中常考查的原理。让我们作些更深入的学习吧！

抽屉原理的由来

曾有人想过这么一个问题：桌子上有10个苹果，要把这10个苹果放到9个抽屉里，结果会是什么样呢？我们可以在一个抽屉里放1个苹果，也可以放2个，还可以放5个，但是不管怎么放，最终我们会发现至少可以找到一个抽屉里面有2个或更多的苹果。这种现象就蕴藏着抽屉原理。

抽屉原理又叫鸽巢原理，最先是由德国数学家狄利克雷明确提出来的，因此也称作狄利克雷原理。

第一抽屉原理

第一表述：把多于n个的物体放到n个抽屉中，那么至少有一个抽屉里有2个或2个以上的物体。例如：把5个苹果放到3个抽屉里，那么一定有1个抽屉里至少有2个苹果。

第二表述：把多于m×n个的物体放到n个抽屉里，则至少有一个抽屉里有m+1个或多于m+1个物体。例如：1001只鸽子飞进50个巢，无论怎么飞，我们一定能找到一个鸽子最多的巢，它里面至少有21只鸽子。

第二抽屉原理

把m×n-1个物体放入n个抽屉中，其中至少有一个抽屉里至多有m-1个物体。

例如：

（1）把999个苹果放入50个箱子里，那么其中至少有一个箱子里至多有19个苹果。

（2）把199本书放到20个书架上，那么其中至少有一个书架上至多有9本书。

抽屉原理的形式虽然简单，但是如果得到灵活运用，可以解决一些看上去相当复杂然而十分有趣的数学问题。

1. 生日问题

某校的六年级学生共有367人，年龄最大的和年龄最小的相差不到1岁，我们不用去查看学生的出生日期就可断定在这367个学生中至少有两个是同年同月同日出生的，你知道为什么吗？

解析：年龄最大的与年龄最小的相差不到1岁，把367名学生看作367个苹果，一年最多366天看作366个抽屉。（如果两名学生是同一天出生的，就让他们进入同一个抽屉，否则进入不同的抽屉。）由第一抽屉原理的第一种表述可知“无论怎么放这367个苹果，一定能找到一个抽屉，它里面至少有两个苹果”。于是，一定能找到两个学生，他们是同年同月同日生的。

2. 植树问题

某校派出学生204人上山植树15301株，其中最少一人植树50株，最多一人植树100株，则至少有5人植树的株数相同。

证明：按植树的多少，从50到100株可以构造51个抽屉，这个问题就转化为至少有5人植树的株数在同一个抽屉里。假设最多有4人植树的株数相同，则每个抽屉最多有4人，故植树的总株数最多有：4×（50+51+…+100）=15300<15301，得出矛盾。因此，至少有5人植树的株数相同。

3. 扑克牌问题

有一副扑克牌（去掉两张王牌），每人随意摸两张牌，至少有多少人才能保证他们当中一定有两人所摸两张牌的花色情况是相同的？

解析：扑克牌中有方块、梅花、黑桃、红桃4种花色，2张牌的花色可以有共计10种情况。把这10种花色配组看作10个抽屉，只要“苹果”的个数比抽屉个数多1个就可以有题目所要的结果，至少有11人。

4. 染色问题

在正方体各面涂上红色或蓝色的油漆（每面只涂一种色），证明该正方体一定至少有3个面颜色相同。

解析：把两种颜色当作两个“抽屉”，把正方体的6个面当作物体，那么6=2×2+2。根据第一抽屉原理第二表述，至少得有3个面涂上相同的颜色。

起始步：解析题意。分清什么是“物体”，什么是“抽屉”。应用抽屉原理要记住“物体”的数目一定要大于“抽屉”的个数。

关键步：制造抽屉。抓住题中最基本的数量关系，设计和确定解决问题所需的抽屉及其个数。

解答步：运用抽屉原理。观察题设条件，结合关键步，恰当应用第一或第二抽屉原理，使问题得到解决。

1. 有29个人都在2月份出生，其中一人说：“我的生日肯定和其他人重复。”这话对吗？

2. 37棵花任意地栽在12个花盆中，栽花最多的那个花盆中至少得有几棵花？

3. 把1、2、3……10这10个自然数以任意顺序排成一圈，试说明一定有相邻3个数之和不小于17。

4. 一副扑克牌有4种花色，每种花色有13张，从中任意抽牌，问：最少要抽几张牌，才能保证有4张牌是同一花色的？

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