兴趣驱动能力支撑方法引领

【摘要】

“兴趣驱动、能力支撑、方法引领”构成中学数学教研论文写作基本规律的一个三维坐标系.具体来说，开展中学数学教研论文的写作，最核心的动力是兴趣驱动，最基本的能力是普遍联系与辩证分析，最根本的方法是分类与整合.

【关键词】兴趣驱动；能力支撑；方法引领；普遍联系；辩证分析；分类与整合

中学数学教研论文的写作是一个热门话题，许多优秀教师分享了自己的宝贵经验[1-6].我们新青年数学教师工作室在集体创作的《中学数学教研论文的读与写》[7]一书中，现身说法讲述自己的经验心得，为读者详细解读中学数学教研论文阅读、写作、投稿的规律与技巧.此书出版后受到读者好评，多次重印，并入选教育部《2013年中小学图书馆（室）推荐图书》.我们也应邀赴多地开展讲座、介绍经验.

近来，我们对中学数学教研论文写作的基本规律有了进一步的理解，在我们的脑海里逐渐形成了一个清晰的三维坐标系（如右图）.

具体来说，开展中学数学教研论文的写作，最核心的动力是兴趣驱动，最基本的能力是普遍联系与辩证分析，最根本的方法是分类与整合.下面结合笔者工作十五年来发表的论文对这一基本规律进行解读.1兴趣驱动

中学数学教师开展教研论文写作的动力来自许多方面，可能是教学的需要，抑或是教育人事考核的要求，但最核心、最持久的动力一定是兴趣，即对数学教育教学研究的热爱.

古今中外许多名家都阐述了兴趣对于学习与研究的作用：

知之者不如好之者，好之者不如乐之者.（孔子）

兴趣是最好的老师.（爱因斯坦）

学习的最大动力，是对学习材料的兴趣.（美国心理学家和教育家布卢姆）

成功的秘诀在于兴趣.（杨振宁）

作为数学家，张景中院士在数学教育的内容创新方面也作出了重要贡献[8]，他开创了“教育数学”研究领域，创造性地将数学研究、数学教育、数学普及三者巧妙融合在一起.他想的是教育，做的是数学，为教育而研究数学，通过改造数学（如平面几何、三角函数、微积分）而推进教育，致力于“把数学变得容易一点”[9].一位数学专业工作者对数学教育情有独钟，其原因绝不会缺少对数学教育的无限热爱与浓厚兴趣.

古话说“玩物丧志”，但对于数学教研论文写作抱有浓厚兴趣的老师来说，写作也可以“增志”.一大批中学数学教师在数学教研论文写作的天空里自由翱翔，取得了教研与教学双丰收.只有当我们对中学数学教研论文写作抱有浓厚兴趣时，才可能潜心去读论文.读论文其实是写论文的重要前提，因为在阅读论文的过程中可以慢慢体会数学教育教学的基本规律，逐渐领悟数学教研论文创作的一般方法和常用技巧.从学习到实践，几乎是任何工作都无法逾越的程序[7].2能力支撑

除了兴趣驱动，支撑中学数学教研论文的写作需要两种最基本的能力，一是普遍联系的能力，二是辩证分析的能力.

2.1普遍联系

普遍联系是唯物辩证法的基本观点.任何事物都不是孤立存在的，它总是和外界事物有着千丝万缕的联系.分析一个问题时，总要注意与其他有关问题的联系.事物的联系具有普遍性和多样性.

在数学史上，曾经由于把三角形和圆、数和曲线联系起来产生了三角学、解析几何学.中学数学教师开展教研也应该具备普遍联系的观点和能力.

有的老师总说自己太忙，整天忙于备课、上课、批改作业，哪有时间读书、研究、写作？但是，总有不备课、不上课、不批改作业的时候吧？比如监考、开会、听课、乘车、上网，这时就可以运用普遍联系的观点，想想眼前的事情是否与数学有关？是否对自己的教学、教研有帮助？

监考的时候，想想考卷上的一道好题（不可动笔）如何分析、解答？有哪些解法？为何学生的答案五花八门？联系平时的教学，看是否遇到过类似问题？笔者曾发表的《2003年高考江苏卷第21题的思路与解法》（《中学数学月刊》2003年第8期）、《2004年高考江苏卷第22题别解》（《中学数学月刊》2004年第8期）等论文，都是笔者在监考时思考、联想的结果（监考结束即整理成文并于当天送达期刊编辑部）.

开会的时候，想想会议内容对自己的教学、教研有无指导意义？笔者就是在开会学习科学发展观的内涵（第一要务是发展，核心是以人为本，基本要求是全面协调可持续发展，根本方法是统筹兼顾）时，联想到关于中学数学教研论文写作的基本规律，提出了本文的基本观点——开展中学数学教研论文的写作，最核心的动力是兴趣驱动，最基本的能力是普遍联系与辩证分析，最根本的方法是分类与整合.

听课是教师的一项常规工作.有一次笔者听初中教师讲授“平行线分线段成比例”，联想到平行线有类似于桥梁的作用，能将比例在平行线段以及由该平行线段所联结的两条直线上的线段之间相互转化，于是写成了《平行像座桥，比例两边跑》（《中学数学研究》（广州）2003年第3期）一文.曾经有一个阶段，笔者听过的几节高三复习课都零散地讲到了以下系列问题①—⑦中的一两个：

已知f（x）=ax2+bx+c，当x≤1时，总有f（x）≤1.试证以下系列问题①—⑦：

①求证：c≤1，b≤1，a+c≤1，a≤2.

②求证：当x≤2时，总有f（x）≤7.

③求证：当x≤λ时，总有f（x）≤2λ2-1（λ≥1）.

④记g（x）=ax+b，求证：当x≤1时，总有g（x）≤2.

⑤记g（x）=2ax+b，求证：当x≤1时，总有g（x）≤4.

⑥记g（x）=λax+b，求证：当x≤1时，总有g（x）≤2λ.

⑦记h（x）=cx2±bx+a.求证：当x≤1时，总有h（x）≤2.

课堂上老师讲得很费劲、学生听得也吃力，笔者联想到这是同一类问题，应该有系统的思路与解法.经过一番探究和整理，写成了《二次函数、一次函数与绝对值不等式问题的探讨》（《中学数学杂志》（高中版）2004年第3期）一文.

在城市里生活，挤公交、地铁是常有的事，总能看见实在挤不上去的乘客，也常能看到明显挤不上去了、居然还挤上去了的乘客.笔者由此联想到我们的数学课堂，时间紧、任务重（大容量、快节奏、高强度），但似乎总缺了点什么，于是萌发了写作《课堂再“挤”，也要让数学思想方法、数学文化挤进去》的念头.

一次偶然机会笔者在网上看到一篇文章《从“如何找12和13之间的分数”谈起》，文中小学生探索平均数所表现出来的创造力令人称奇.笔者在欣赏的同时，联系高中数学的平均不等式知识，写成了《谈谈平均数》（《小学数学教师》2010年第3期）一文，意在揭示问题的数学背景.

依靠普遍联系的能力开展写作，笔者印象最深的是《一道习题的研究性学习》（《数学通报》2004年第10期）这篇论文.2003年前后，笔者在高中数学教学中发现一道题（设p>0，q>0，且p3+q3=2，求证p+q≤2）反反复复出现在高中数学好几章的习题中，见多了，笔者萌发一个念头：引导学生联系初高中数学各章的不同知识都给出它的一个解法！经历一番探究，笔者与学生如愿以偿，获得了10余种解法.

普遍联系的能力有助于我们发现问题，也有助于我们创造性地解决问题.我们呼吁广大数学教师善于联系（纵向联系、横向联结），做“多愁善感”的数学教师.

2.2辩证分析

辩证分析法强调用全面的、联系的、发展的观点看问题，反对片面的、孤立的、静止的看问题.具备较强的辩证分析能力，将有助于我们深刻认识数学教学问题、高质量地开展数学教研论文写作.

以下数学教育思想都是辩证分析的典型案例：

厚薄读书法.（华罗庚）

数缺形时少直觉，形少数时难入微.（华罗庚）

举一反三与举三反一.（赵宪初，1982）

把传授知识和培养能力统一起来.（郭思乐，1982）

从数学教育到教育数学.（张景中，1989）

淡化形式，注重实质.（陈重穆、宋乃庆，1993）

数学教育的基本矛盾是“数学方面”与“教育方面”的对立统一.（郑毓信，1995）

熟能生巧吗？熟能生“笨”吗？熟能生“厌”吗？（李士锜，1996-2000）

寻找中间地带.（刘佛年、顾泠沅，1999）

竞赛数学是高等数学与初等数学相结合的“中间数学”.（罗增儒，2000）

数学的学术形态与教育形态.（张奠宙，2001）

数学教育学的双逻辑起点.（单墫、喻平，2001）

突破教学模式，走向教学的自由.（曹一鸣，2005）

回到起点去，“生长”是本质.（葛军，2008）

理解数学、理解学生、理解教学.（章建跃，2010）

笔者曾运用辩证分析法，撰写了一系列关于概率的教研论文.笔者在执教原大纲版高中必修教材时，为方便老师们系统、全面理解数理逻辑和概率论的知识，笔者梳理了它们与集合论有关概念的对应关系表，辩证地分析它们之间的联系与区别，写成了《从结构化观点看数学新教材中“集合论”、“数理逻辑”、“概率论”的关系》（《数学通讯》2003年9月第17期）一文.另外，由于当时的教材没有引入几何概型，笔者发现在“概率”概念教学实践中，有不少人错误地认为“必然事件与概率为1的事件等价，不可能事件与概率为0的事件等价”.针对这一问题，笔者多次发表文章进行辨析，如《对“概率”概念教学的一处释疑》（《数学通讯》2004年3月第5期）、《事件间的图示关系》（《中学数学》2005年第5期）等.高中新课标教材引入几何概型后，笔者认为这是对教材的完善也是对高中数学知识（概率论）的完善，于是写成了《有关几何概型教学的两点体会》（《中小学数学》（高中版）2008年第9期）一文.

在教学过程中，我们还会碰到不少错题或错解，撰写纠错类文章，既是做好教学案例的积累，也是加深自己对数学知识的辩证认识.笔者曾经多次看到同一道三角错题出现在很多教学资料上，于是从“展示经典、暴露错误；分析条件、揭示本质；数形结合、再探错因；修正条件、还原经典”等四个层次写成了《一类三角错题的探究》（《数学通讯》2010年第11-12期合刊（上））.

教材、期刊、教学资料上难免有不尽如人意、值得商榷之处，这些都是我们可以开展写作的题材.笔者近年也写了一些针对性的文章，如《也谈零向量——与〈关于零向量两个典型案例的思考与探究〉一文作者商榷》（《数学通讯》2013年第6期（下））、《从一次教学调研谈辅助平面的确定——对人教A版高中数学课标教材第25处修改建议》（《数学通讯》2015年第3期（下））、《可参考答案，但不迷信答案——对一道习题解答的勘误》（《中学数学》2015年第7期（上））等.

利用“对立统一、质量互变、否定之否定”的辩证规律认识问题，提高辩证分析能力，将有力支撑我们开展中学数学教研论文写作.3方法引领

分类不仅是一个生活原理（比如超市里的商品要分类陈列、垃圾要分类处置），也是一个数学原理（比如分类计数原理、分类讨论的思想方法）.对于中学数学教研论文的写作而言，“分类与整合”更是一个根本的方法和原理，我们将其形象地称之为“合并同类项”：分类，就是先找到同类项；整合，就是将同类项进行合并.分类见重点、整合见规律.

比如，定积分刚刚引入高中新课标教材时，笔者发现用定积分去证明不等式往往有事半功倍的效果，便写作了《定积分证明不等式例谈》（《中学数学月刊》2004年第10期）一文.文中选取了6道典型例题，并将其分为两类：一类利用定积分的保号性比较大小，从而证明不等式；另一类利用定积分估计和式的上下界，从而证明不等式.这篇文章体现了定积分（高等数学的观点）解决初等问题的优越性.文章的点睛之笔在于文末的“整合”：将定积分构建的不等式略加改造即得这些例题的“初等”证明，从而揭示了高等数学与初等数学的联系.

再如，在分类整理2005年全国各地高考试题的过程中，笔者发现解析几何解答题呈现出一种较为普遍的“定值”现象：若干个变量，比如x1，x2在某个综合变化过程中产生的某种结果f（x1，x2）恒定不变.于是写作了《评析2005年高考解析几何解答题的定值问题》（《中学数学杂志》（高中版）2005年第6期）一文，文章归纳、整合得到了解析几何解答题定值问题的基本规律：将定值对象尽可能地表示为变量的函数，即获得前述f（x1，x2），再揭示f（x1，x2）与x1或x2无关，即f（x1，x2）实质上仅是f（x2）或f（x1），我们就可以断言f（x1，x2）对于x1或x2而言是定值（常量）.其过程有关键的两步：一是获取目标函数，二是说明定值.

又如，为呼应《数学教学公理刍议》（《中小学数学》（高中版）2009年第7-8期合刊）一文，笔者将激发学生学习兴趣的实践经验进行了分类（6类），整合写成了《实践数学教学公理的几个切入点》（《中小学数学》（高中版）2009年第12期）一文，此文后被人大复印报刊资料全文转载.

还如，为了梳理新中国成立60多年来中国数学教育研究的基本脉络，我们在2010年启动了“当代中国数学教育流派”课题研究，这项研究在国内尚属首次.在分类研究徐利治、张景中、张奠宙三位学者的教育背景、学术经历、理论贡献、代表作品、学术团队基础上，我们整合提出了当代中国数学教育的三座学术高峰（“一徐二张”）和三个主要流派（数学方法论流派、教育数学流派、数学教育理论体系流派），写成了《当代中国数学教育流派刍议》（《上海中学数学》2014年1-2期合刊）一文，很快被人大复印报刊资料全文转载，获得了较大反响，继而出版了专著《当代中国数学教育流派》[9].新近发表的《当代中国数学家对数学教育内容创新的贡献》（《中学数学杂志》2016年第1期）一文则是我们分类梳理多位著名数学家对数学教育的贡献之后，通过整合所获得的最新研究成果.

在“分类与整合”的方法引领之下，我们不仅取得了丰富的教研论文成果，而且还出版了几本数学教研专著，“分类与整合”成为贯穿这些专著的红线.比如，我们在《中学数学教研论文的读与写》[7]一书中，从中学数学教研的研究对象出发，将中学数学教研论文分为以下几类：课程与教材研究类；课堂教学研究类；解题研究类；高考、中考研究类；数学竞赛研究类；初等数学研究类；数学文化与数学（教育）史类；信息技术类；等等.这种分类充分考虑到了我国中学数学教师的教研习惯，当然各种类别之间并非没有重叠.《当代中国数学教育名言解读》[10]一书延续了这种分类，并把各类别作为每一章的标题，提高了图书的针对性和实用性.

从数学史角度来看，“分类与整合”也是数学发展的重要方法.比如，欧氏几何统治人类2000多年，到17世纪一些数学家发现了许多新的几何学，19世纪更被誉为新几何发现的世纪，或几何非欧化的世纪.如法国的笛卡尔和费马先后创立了“解析几何”；法国的蒙日和庞赛列等创立了“射影几何”；俄国的罗巴切夫斯基等创立了“非欧几何”；接着数学家又创立了“微分几何学”、“黎曼几何”、“几何基础”……从此结束了欧氏几何的一统天下.令人高兴地看到，虽然有各种各样的几何学，但F.克莱因用群论完成了欧氏几何与各种非欧几何的统一，成为19世纪科学史上最伟大的成就之一.所谓几何学，就是研究几何图形对于某类变换群保持不变的性质的学问，换言之，任何一种几何学只是研究与特定的变换群有关的不变量.

再如，随着社会进步和科学技术的发展，更多地需要数学的计算，许多自然现象和社会实践常常归结成各种代数方程，要求用数学求出方程的解（或根），代数方程的解法成了古典代数的中心问题.就方程本身而言，它向两个方向发展，一个方向是一元高次方程；另一个方向是多元一次（或高次）方程组.前者发展成后来的方程论（或多项式论）研究，方程的扩展便是高等代数；后者发展形成了线性代数[11].

需要指出的是，本文所述中学数学教研论文写作的基本规律，完全基于我们的实践与认识，不当之处请大家批评指正.在此基础上，我们还愿意提出：数学教师要把“好课好学生、好题好文章”作为自己的职业追求，这一点与大家共勉.

参考文献

[1]任念兵，罗建宇.谈谈中学数学教研论文的写作[J].中学数学杂志，2010（11）：1-3

[2]曹平原.中学数学教学论文的写作方法[J].中学数学杂志，2011（9）：16-19

[3]林婷.灵动捕捉教研论文的写作素材[J].中学数学杂志，2012（11）：14-15

[4]罗增儒.例谈数学论文写作的科学性[J].中学数学杂志，2013（3）：61-65

[5]王勇.潜心静气勤笔耕厚积薄发著华章——撰写教科研论文的苦辣酸甜之路[J].中学数学杂志，2014（5）：3-6

[6]丰梦婷，徐章韬.如何拟定数学教学研究论文的标题[J].中学数学杂志，2015（6）：58-60

[7]新青年数学教师工作室.中学数学教研论文的读与写[M].上海：上海教育出版社，2010

[8]刘祖希.当代中国数学家对数学教育内容创新的贡献[J].中学数学杂志，2016（1）：3-6

[9]新青年数学教师工作室.当代中国数学教育流派[M].上海：上海教育出版社，2014

[10]新青年数学教师工作室.当代中国数学教育名言解读[M].上海：上海教育出版社，2015

[11]徐品方，张红，宁锐编著.中学数学简史[M].北京：科学出版社，2007

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