论微分中值罗尔定理及其应用

摘要：罗尔定理在数学分析中也有着非常广泛的应用. 本文通过罗尔定理在微分中值定理和数学分析中的作用和地位，来分析和研究罗尔定理的内容，几何意义和应用. 通过对罗尔定理的推广和应用，重点研究了用罗尔定理解决关于导函数零点存在性和证明微分中值公式的问题.

关键词：罗尔定理； 柯西中值； 代数方程式1. 罗尔定理

罗尔是法国数学家。罗尔在数学上的成就主要是在代数方面，专长于丢番图方程的研究。 罗尔于1691年在题为《任意次方程的一个解法的证明》的论文中指出了：在多项式方程 的两个相邻的实根之间，方程至少有一个根。在一百多年后，1846年尤斯托（Giusto Bellavitis）将这一定理推广到可微函数，尤斯托还把此定理命名为罗尔定理。

罗尔定理如下：

如果函数f（x）满足：

在闭区间[a，b]上连续；

在开区间（a，b）内可导；

在区间端点处的函数值相等，即f（a）=f（b），

那么在（a，b）内至少有一点ξ（a<ξ

罗尔定理、拉格朗日中值定理和柯西中值定理是微分学的基本定理，是联系闭区间上实函数与其导函数的桥梁与纽带，具有非常重要的理论价值和使用价值. 一般来说，拉格朗日中值定理和柯西中值定理的证明都由罗尔定理给出. 所以，有必要对罗尔定理进行深入的探讨与研究.

2. 罗尔定理的应用

2.1 罗尔定理在导函数中的应用

例1设函数f在[a，b]上二阶可导，且f（a）=f（b）=0，f′（a）f′（b）>0，则存在ξ∈（a，b），使f″（ξ）=f（ξ）.

证明 不妨设

f′（a）>0，f′（b）>0，

则f（x）在x=a与x=b处单调递增. 考虑到

f（a）=f（b）=0，

所以，x1，x2∈（a，b），使

f（x1）>0，f（x2）>0，

从而，c∈（a，b）使

f（c）=0.

令

g（x）=e-xf（x），

则

g（a）=g（c）=g（b）=0.

由罗尔定理知ξ1∈（a，c），ξ2∈（c，b），使得

g′（ξ1）=0=g′（ξ2），

即

e-ξ1f′（ξ1）-f（ξ1）=0=e-ξ2f′（ξ2）-f（ξ2），

亦即

f′（ξ1）-f（ξ1）=0=f′（ξ2）-f（ξ2）.

再令

φ（x）=exf′（x）-f（x），

则

φ（ξ1）=0=φ（ξ2）.

再用罗尔定理，则ξ∈（ξ1，ξ2）（a，b），使得

φ′（ξ）=0，

即

eξf″（ξ）-f（ξ）=0，

即

f″（ξ）=f（ξ）.

综上，便得证.

2.2 用罗尔定理证明中值公式

要点：构造不同的辅助函数，应用罗尔定理可以导出不同的中值公式.

例2设f（x），g（x），h（x）在[a，b]上连续，在（a，b）内可导. 试证： 必存在ξ∈（a，b），使得

f（a）g（a）h（a）

f（b）g（b）h（b）

f′（ξ）g′（ξ）h′（ξ）=0.

证明 作辅助函数

F（x）=f（a）g（a）h（a）

f（b）g（b）h（b）

f（x）g（x）h（x） ，

则F（x）在[a，b]上连续，在（a，b）内可导，且

F（a）=F（b）=0.

应用罗尔定理可知，ξ∈（a，b），使得

F′（ξ）=0，

由行列式性质得，

F′（ξ）=0.

即结论成立.

注 （1） 令h（x）≡1，即可推出柯西中值定理.

（2）令g（x）≡x，h（x）≡1，即可推出拉格朗日中值定理.

證明如下：

（1） 令h（x）=1，则

F′（ξ）=f（a）g（a）1

f（b）g（b）1

f′（ξ）g′（ξ）0=0，

即

f（b）-f（a）g（b）-g（a）=f′（ξ）g′（ξ）.

此即得柯西中值定理.

（2） 令g（x）=x，h（x）=1，则可知，

F′（ξ）=f（a）a1

f（b）b1

f′（ξ）10，

即

f′（ξ）=f（b）-f（a）b-a.

此即得拉格朗日中值定理.

3.结论

本文主要介绍罗尔定理、以及罗尔定理的推广和在几种不同情况下的应用。 并通过分析法、反证法、构造辅助函数法等方法对罗尔定理的正确性、导函数中零点的存在性、罗尔定理在不同区间（有限和无限）下的应用以及它在导函数中的应用等问题进行了验证。本文根据这一定理的条件和结论，提出了一系列扩展思路、独立思考、试探解决的问题，达到了培养能力，牢固掌握基本理论的目的。（作者单位：周口师范学院）

参考文献：

[1]包礼文. 数学分析中的典型问题与方法[M]. 高等教育出版社，2008.

[2]李玉琏，数学分析讲义[M]. 高等教育出版社，2000.

[3]孙清华，数学分析内容方法与技巧[M]. 华中科技大学出版社，2010.

[4]王承国，数学分析学习指导[M]. 科学出版社，2010.

推荐访问： 中值 微分 定理 及其应用