数列极限的三种求法

摘 要 本文介绍三种求数列极限的方法，主要有施笃兹法、比值法、级数求和法，同时，通过适当的例子讨论了这些方法的特点、适用范围、要注意的问题等等。对同学求数列极限有非常好的指导、借鉴作用。

关键词 数列极限；施笃兹法；级数求和

一、引言

极限是分析数学中最基本的概念之一，用以描述变量在一定的变化过程中的终极状态。公元前5世纪，希腊数学家安提丰（Antiphon）在研究化圆为方问题时创立了割圆术，即从一个简单的圆内接正多边形（正方形、正六边形）出发，把每边所对的圆弧二等分，联结分点，得到一个边数加倍的圆内接正多边形，当重复这一步骤足够多次时，所得圆内接正多边形面积与圆面积之差将小于任何给定的限度。在我国古代，朴素的、直观的极限思想也有记载。例如，中国古代的《墨经》中载有“穷，或有前，不容尺也”，《庄子·天下》中载有“一尺之棰，日取其半，万世不竭”，公元3世纪我国数学家刘徽创立的割圆术，其中都包含了深刻的极限思想。极限是现代数学分析奠基的基本概念，函数的连续性、导数、积分以及无穷级数的和等都是用极限来定义的。可见，研究数列极限是十分有意义的。在数学分析中介绍了很多求数列极限的方法，常见的有：定义法、数列求和法、定积分定义法、单调有界原理、同限夹挤定理等。上述方法在求常见的数列极限时比较有效，但遇到一些特殊的数列就很难求出、甚至无从下手。为此我们介绍三种特殊的求极限的方法主要有施笃兹法、比值法、级数求和法。这些方法对于求一些特殊的数列极限有很重要的作用。

二、数列极限的三种求法

1.施笃兹法

施笃兹法被称为求数列极限的洛必达法则，对一些不能用上述洛必达法则方法求的数列极限如■■，有时可用下面施笃兹法。

命题1（施笃兹法）给定数列Tn可以写成Tn=■且■yn=∞，y■>y■，若■■存在，则■=■■。

例1 求■■

解令y■=1■+3■+……+（2n-1）■，z■=2■+4■+……+（2n）■

显然z■→∞，z■>z■满足施笃兹定理，从而有

■■=■■=1

2.比值法

一般来说，n次根式的数列极限■■比较难求，我们通过下面的命题2将一些n次根式的数列极限转化为较为简单的比值数列极限■■来处理，能起到很好效果。

命题2 设an>0若■■=l，则■■=l

例2 求■■

解令a■=■，

由于■■=■■·■=1

由命题2有■■=■■=l

3.级数求和法

当被求数列的极限中的数列是n项和构成时，一般考虑先求和再求极限，但有时数列的，项和比较难求如x■=1-■+■-……+（-1）■■我们可把它作为幂级数在某点的值，通过幂级数和的方法，例如对幂级数求导、积分等方法来求数列的n项和，这样可以很方便求出n项和数列的极限，甚至是一些较为复杂的n项和数列的极限。

有时还可以用泰勒展式求数列的极限。

例3 求■（1-1-■+■-……+（-1）■■）

解作幂级数s（x）=■（-1）■■，显然我们要求的数列即为幂级数s（x）在x=1处的值，又易知级数的收敛区间为（-1，+1】所以s（x）在x=1处的值有意义.，下面求幂级数s（x），

两边求导则有s（x）=■（-1）■■=■，

两边积分有s（x）=■■dt=1n（1+x），

所以■（1-1-■+■-……+（-1）■■）=■（-1）■|x=1=s（1）=ln2

例4 求■（1+1+■+■……+■）

解 因为ex的泰勒展式为e■=1+x+■+……+■+……

而ex在x=1时，e■=1+1+■+■……+■+……

所以■（1+1+■+■……+■）=■■=e■=e

参考文献：

[1]李大华.大学数学2000题第2版[M].湖北武汉，华中科技大学出版社，2001

[2]李成章，黄玉民.数学分析第4版（上）[M].天津，科学出版社，1999

[3]刘玉链，付沛仁.数学分析讲义[M].吉林长春，高等教育出版社，2003

[4]华东师大数学系.数学分析第3版（上）[M].上海，高等教育出版社，2001

[5]费定晖，周学圣.数学分析习题集题解第2版[M].山东济南，山东科技出版社，2001

作者简介：马冬文，男，江西工业贸易职业技术学院教师，主要从事高等数学、线性代数及概率论方面的教学。

推荐访问： 求法 数列 三种 极限