重评内力图的符号规定与多重统一

【摘 要】鉴于材料力学、结构力学中内力图特别是弯矩图的重要地位及画图上的不和谐，为使理论成果与工程应用协调一致，针对现行教材中内力图符号规定之混乱及其不协调性，结合数学与力学、材料力学与结构力学、力学教学与工程应用的实际，本文本着形象直观、记忆规范、易授易懂的原则，一改土木工程专业材料力学教材中梁的内力符号规定，使之在“内力微分关系上统一、力学与数学统一、不同专业梁的内力图统一、材料力学与结构力学统一、先行课与后继课统一，纸上谈兵与应用习惯统一”。一式多用而非一果多记，避免了“左脚鞋穿在右脚上，走路时又将右脚置于左脚位迈步”的别扭与尴尬，同时又与通常所理解的现象协调一致，对于完善教材符号及工程技术人员方便实用尤具一定价值。

【关键词】土木工程；材料力学；内力符号；弯矩图；微分关系；工程设计；右手系

0 引言

迄今为止的土木工程专业材料力学之内力符号总与其它专业在相同内容上不相一致，比如热能动力工程专业[1，3]在梁的内力符号规定下所画内力图比较协调地统一在内力微分关系上，并与数学达到了右手系下的统一。而土木工程专业的材料力学[2]因与后续课——结构力学[4]保持一致，因此而将弯矩图画在梁的受拉侧。大量的训练，大量的成果图都依此为原则，结果导致在运用微分关系这一极具简明的方法画图时，内力微分关系总是带着相反符号——左手系去实施。这样一来大多学生不习惯左手系，致使数学工具的运用受到非议，即使作为教师，虽然能够刻意地注意到左手系下的差异，但也显得不顺手、别扭，总有一种左脚鞋穿到右脚上又按右脚迈步的感觉，既别扭又尴尬，之所以别扭是因为初学者不习惯左手系，而尴尬之因则表现在学生已经学过的数学基础工具不会用，讲者差强，听者疑惑。

此规定者的另一说法便是按右手系方法运用内力微分关系完成，然后将所画弯矩图绕横轴转180°——上下倒置。殊不知，作为简单问题尚可，对于复杂问题，尤其是段数多的结构力学弯矩图其繁无比。若直接画成则内力微分关系不甚适宜。致使有用的数学工具不能水到渠成地凑效。

多科教学，感慨有加：符号规定，正负两家，非此即彼，莫非上下，既是人为，何不权化？ 慷慨而明智地退一步，使教学与学习双方便利，何乐而不为呢？

改变现行符号规定，重新给出新的规定，以期达到上述之“六统一”并非难事。无非是改变一下固有习惯而已。

诚然，符号作为人为规定仍具科学性与美感，比如著名的微分算子符号dy=y"dx或y"=■就普遍受到赞誉。因为微分形式的不变性在力学上具有广阔的应用市场，具有足够的灵活性，使得已知与未知这一对物理量在没有直接对应的物理背景下得以顺利完成。这无疑得益于微分算子符号的科学性。

1 重评梁的内力符号及其新规定

1.1 现有符号规定的弊端

现有的梁的内力符号规定本身是一致的，只是到了弯矩图绘制时出现了不和谐。即符号规定与弯矩图在右手系中的符号不相一致，与内力微分关系不相一致，出现了左手系现象。这虽然方便了工程人员，但使初学者无所适从，画出的剪力图与弯矩图又使内力微分关系无地自容，教过其它专业材料力学课程的老师再教结构力学课程时还得从头开始，结果是学生对学过的知识将信将疑。诸如此类，无不表明，改变符号规定，使不同专业相同课程在同一内容上实现统一，不仅可能可行，而且易如反掌，足收事半功倍之效。

经过多年来，多专业工程力学、材料力学与结构力学课程的教学，笔者认为，如欲使内力符号规定达到“六统一”，只须做如下规定：

1.2 剪力符号规定

左截面向下为正，或右截面向上—左下右上，即在所取对象的左截面剪力以向下为正，或在右截面向上为正。也可以表述为以使单元体产生逆时针转动之势的剪力为正，该规定恰好与原来规定相反，如图1所示。

图1 剪力符号图

1.3 弯矩符号规定

仍以左、右面为相对参照，规定左截面上逆时针的弯矩为正、或右截面上顺时针的弯矩为正——左逆右顺。

其相应的另一种表述为：

以使单元体轴线上凸的弯矩为正、或以产生下凹轴线形状的弯矩为负，此仍与原规定相反。如图2所示：

图2 弯矩符号图

以上所及，原本是一个截面因截面法假想截开的两个面，本质上属于作用与反作用。因此无论剪力符号规定的左下右上还是弯矩符号规定的左逆右顺，都应体现符号相反这一必然结果，而且每一种符号的取舍是同时的选择关系，非此即彼。因此凡是截开后，或者取左部分——右截面，或者取右部分——左截面。取左部分还是右部分应视哪部分简单而定。

2 内力微分关系

从梁中取一具代表性的微段。不妨取其长为dx，如图3所示，其受力图按新的规定画出，q为分布力的集度。

图3 微元示意图

由平衡计算不难得到平衡时的内力微分关系

■=Q，■=-q，■=-q

若分布力q方向向下，则作相应改动

■=Q，■=q，■=q

这便是右手系下的内力微分关系。限于篇幅，推导过程略。

3 统一性分析

新规定所得内力微分关系式是右手系的结果，说明力学与数学是统一的。因此可直接应数学相关结论于力学而无需再绕x轴旋转——一气呵成，不费二遍事——过程顺手，结果直观。

按此规定下，不同专业同一课程内容——梁的内力图达到一致而统一，不再因弯矩的特别规定而使内力微分关系相佐，这便是不同专业间的统一。有了这一统一，教师不再因讲授不同专业而采用不同手法而感到别扭从而方便易授。

按此规定下，正弯矩使梁的上侧受拉，下侧受压，其弯矩图恰好体现了画在受拉一侧，这与结构力学达到一致，进而与工程技术人员的习惯相统一。

再看应力，梁的弯曲正应力

σ=■

之上拉、下压得以上的科学实现，进而与弹性力学达到统一。

此外，按此符号规定下的正负也与人们习惯性感觉相统一。比如，向上的分布力q因（下转第14页）

（上接第12页）■=-q

而使弯矩产生极大值，弯曲图上凸。又从关系

■=■=■

可知，正弯矩使轴线上凸，而上凸曲线y（x）之y""（x）<0，从而有恒定关系

M=-■

式中I■为梁的横截面对其中性轴的惯性矩。利用小变形假设取其近似微分关系为

EI■y""=-M（x）

这是梁的弯曲变形、压杆临界力分析时不可缺少的工具。不难验证向上的q引起正的挠度——向上的位移。这些都是与人们的习惯性感觉相统一。

最后指出，此弯矩符号规定直观表明：正弯矩在弯矩图中采用右手直角坐标系位于横轴之上，而正弯矩直接规定使轴线上凸为正，此上凸恰使上侧受拉。因此正弯矩与上侧受拉相统一、负弯矩则使下侧受拉。由此可知，按右手直角坐标系下画出的新的符号规定下的弯矩图，其正、负（坐标上、下）恰好体现正上拉、负下拉之统一。这便是本文新的符号规定之主旨。

举例示范应用说明因篇幅略。

4 结论

苦于以往梁的内力符号规定所导致内力图之困惑，尤其是内力图中弯矩画在受拉侧与其符号规定而使内力微分关系或者瘫痪，或者按其所画最终绕x轴旋转180°，多费一遍事这一事实。一改以往之符号规定，将其剪力与弯矩均改为相反方向而规定其正负，使数学工具从容自如运用，所有专业一气呵成，所有力学课贯通一致，六个统一如期实现。此外新的符号规定具有

1）作为研究，各学科达到贯通、各课程达到一果多功，因此具有贯通性——经久耐用。

2）作为教学，特别是大众化教育的对象，如何寻找最合理、优化的内容及方法使之达到易授易懂，教与学双赢，不仅是教研之必须，也是育人之所急。此结果应当说达到了教书育人之事半功倍之效。

3）以小见大，以微克重是本文的一个显著特点。真理都是朴素的，也是简单的。符号规定原本是人为的主观产物，可谓小事一桩。但弯矩图则是固体力学分析计算的重中之重，从结构力学各种方法如力法、位移法、渐近法等诸多内容中，其预期成果都是内力图，特别是弯矩图。

这种诸多方面的贯通与统一恰恰体现了以小见大，以微克重的思想。

4） 提高受教育者的素质，不仅教师首先要提高，教材创新也须前行。

5） 内力微分关系隐含右手系规则，原来把弯矩图画在受拉侧属于左手系规则。因此原有的符号规定及基础因其画法而阉割了符号的意义，也偏离了坐标系这一基础工具，而内力图恰恰是以坐标系形式画出的。

【参考文献】

[1]俞茂鋐.材料力学[M].高等教育出版社，1994，8.

[2]孙训方，方孝淑，关来泰.材料力学[M].高等教育出版社，2004，2.

[3]单辉祖，谢传锋.工程力学[M].高等教育出版社，2009，5.

[4]包世华.结构力学[M].清华大学出版社，2002，6.

[责任编辑：程龙]

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