马克思、恩格斯的数学观对当前大学生的启示和指导作用

摘 要：文章提出在当前数学教育教学改革中，大学生出现的对数学学习的态度和认识的问题，强调要学习马克思、恩格斯对数学高度重视并深入研究数学的精神，分析了马克思在他的《数学手稿》和《资本论》中是如何研究、运用数学的，指出用马克思、恩格斯的数学观来指导和改进我们当前的大学生学习数学的态度和方法，并以此来推动数学教育教学改革。

关键词：数学教育改革；辩证唯物论；数学思维方法；数学手稿；资本论

在数学教育教学的改革实践中，我们发现这样一个问题：当前大学生普遍存在对数学这门学科认识不足的问题，在认识上有很大的片面性。一般仅仅把数学看成是一门应用工具的科学，而忽视了数学更为重要的功能和作用——数学思维方法，它是一种解决实际问题的思维形式，尤其是建立某种新思想的分析和综合的方法。事实上，学生中的模糊认识或者说错误认识，也与教师在教学中仅只强调数学是基础科学，而没有指出“基础科学”究竟能起什么作用有很大关系。其只提出数学有广泛的应用，而没有强调数学还是一种十分重要的思想方法。数学有严密的逻辑推理，有高度抽象的空间思维，有唯物辩证法的大量案例，它令人们思想活跃、精神升华。

如何把数学更为重要的功能和作用在教育教学中体现出来，是教学改革面临的十分重要的课题。

人类认识的发展基于经验的积累和理性的思维，在经验累积的基础上，经过理性的思维，才能产生新的飞跃。所谓“创新”，我们认为就是将经验通过各种不同的理性思维，达到不同以往的旧的理论、旧的方法，产生出更为先进、更为科学的新的成果、新的理论、新的方法。而充分地、综合地运用数学的思想和方法对创新是十分重要的。

19世纪的伟大思想家和革命家马克思（1818～1883）和恩格斯（1820～1895）高度评价数学的地位和在科学研究中的作用。马克思指出：“一门科学只有当它达到了能够成功地运用数学时，才算真正发展了。”恩格斯说：“在一切理论成就中，未必有什么像十七世纪下半叶微积分的发明那样看作人类精神的最高胜利了。如果在某个地方我们看到人类精神的纯粹的和唯一的功绩，那就正在这里。”

恩格斯还说：“黑格尔的数学知识颇为丰富，甚至他的任何一个学生都没有能力把他遗留下来的大量数学手稿整理出版。对数学和哲学了解到足以胜任这一工作唯一的人，就是马克思。”在这里，恩格斯高度评价了马克思所掌握的数学知识和他综合运用数学的能力。

马克思尤其认为，数学是丰富唯物辩证法的一个源泉，他指出，在“高等数学”中，他找到了最符合逻辑的同时又是形式最简单的辩证运动。

马克思绝不仅仅只是说数学的重要性，从19世纪40年代起，马克思数十年如一日地用闲暇时间钻研数学。正如恩格斯评价他：“任何一门理论科学中的每一个新发现，即使它的实际作用甚至还无法预见，都使马克思感到由衷的喜悦”，“马克思在他所研究的每一个领域（甚至在数学领域）都有独到的发现。”数学是马克思密切关心，并且努力研究的一个科学领域。

在马克思著名的数学笔记《数学手稿》中（马克思的数学手稿共有一千多页，写于19世纪50年代末至80年代初），马克思对微积分的基本概念和计算方法作了大量缜密的研究。马克思认为微分学是辩证法的数学实例，他用辩证法的思维观点，分析微分运算的实质。他指出“理解微分运算的全部困难，正像理解否定的否定本身一样。”并且在《数学手稿》中通过典型的具体例子来说明这个观点。

1863年7月6日，马克思给恩格斯写的一封信中提到：“闲暇时我在研究微积分。顺便说！这方面的著作我有多余，你如果愿意研究这一门的话，我愿意寄给你一本。我认为这对你的军事研究几乎是必要的。”大家知道，当时微积分这门学科的基础是不牢固的。正是处于数学史称之为“数学的第二次危机”时代。后来是通过大数学家柯西（1789～1857），魏尔斯特拉斯（1815～1897）等及以后的数学家的努力才确立了微积分的逻辑基础。它的逻辑顺序是：实数系—极限论—微积分。柯西的著作《分析教程》论述了精确的极限定义，连续性，级数的收敛性等分析基础的概念。而魏尔斯特拉斯在19世纪末才提出了：①逻辑的构造实数系，②从实数系出发定义极限、连续性、可微性、收敛和发散的概念，而形成我们现在微积分教材的体系。

在《数学手稿》的第三部分“历史的概述”中，我们可以看出马克思当时主要研究了以下著作：牛顿（1642～1727）《自然哲学的数学原理》1687年发表；莱布尼茨（1646～1716）的著作；泰勒（1685～1731）《增量方法及其他》1717年发表；达朗贝尔（1717～1783）《流体论》1744年发表等。

这些科学家都是17、18世纪最著名的数学家。马克思研究了这么多数学名著，作为一个一生致力于无产阶级革命事业的伟大思想家、革命家，他有更多的工作要做，有更多的著作要完成。他的最大贡献是揭示了人类历史的发展规律；奠定了无产阶级革命事业的理论基础。然而他对数学的研究却如此执著，并写下了一千多页的研究微分学和其他内容的数学手稿。尽管马克思不可能像柯西、魏尔斯特拉斯那样研究微积分的基础理论问题。但是，马克思已经发现牛顿、莱布尼茨的微分学基础是不牢固的。“…最后的结果就成了 = 0，就是说 ：获得 的方法是错误的。”（《数学手稿》复旦大学1974年翻译本P34），马克思研究数学的方法是十分严谨的。马克思把唯物辩证法用于数学，分析了微分学的基本概念和方法。认为微分学之所以成为研究和解决实际问题的有效工具，就是在于它反映了客观世界的辩证运动规律。

我们再看一看，马克思在《资本论》这部光辉的著作中是如何运用到数学的。《资本论》是马克思用毕生精力写下的划时代意义的经济学著作，在这部著作中，马克思用历史辩证唯物主义观点分析了资本主义生产方式的内在矛盾，科学地揭示了资本主义制度产生、发展和灭亡的历史必然性，揭示了人类社会发展的历史规律性，对认识资本主义和研究社会主义具有重大意义。

我们看下面《资本论》中的部分标题：

第一卷 资本的生产过程

第三篇 绝对剩余价值的生产

第五章 劳动过程和价值增值过程

第七章 剩余价值率

第九章 剩余价值率和剩余价值量 绝对剩余价值和相对剩余价值的生产

第十四章 绝对剩余价值和相对剩余价值

第十五章 劳动力价格和剩余价值的量的变化

第十六章 剩余价值率的各种公式

第二卷 资本的流通过程

第一篇 资本形式变化及其循环

第四章 循环过程的三个公式

第九章 预付资本的总周转、周转的周期

第十七章 剩余价值的流通

第三卷 资本主义生产的总过程

第一篇 剩余价值转化为利润和剩余价值率转化为利润

第一章 利润率与剩余价值率的关系

第二章 第二篇 利润转化为平均利润

第三章 第九章 一般利润率（平均利润率）的形式和商品价值转化为生产价格

第四章 第三篇 利润率趋向下降的规律

第五章 第五篇 利润分为利息和企业主收入。生息资本

第六章 第二十二章 利润的分割、利息率。 “自然”利息率

第七章 第二十六章 货币资本的积累 它对利息率的影响

第八章 第三十五章 贵金属和汇兑率

第五篇 超额利润转化为地租

第六篇 第四十八章 三位一体的公式

《资本论》共三大卷，约180万字，从这些标题可以看出几乎在每一卷、每一篇都有数学的名称和术语。反复出现的有：“绝对”“相对”“价值率”“价值量”“循环过程”“公式”“周期”等。这些术语的大量出现，说明著作中有了非常丰富的数学内涵，甚至可以毫不夸张地说，仿佛使人看到一部经济数学的教科书。

再看看著作中的具体内容：例如，在第二卷第一篇第一章“货币资本的循环”中，看马克思是怎样运用数学的知识、数学的思维方法来分析资本循环过程的。

“资本的循环过程经过三个阶段，这些阶段形成如下序列”这里“三个阶段”“序列”就是数学的语言。

第一个阶段 ：…经历流通行为G－W。…

第三阶段：…经历流通行为W－G。因此货币资本循环的公式是：G－W…P…W′－G′。在这个公式中，虚线表示流程过程的中断，W′和G′表示由剩余价值增大的W和G。

在这一段里，马克思用G表示货币，用W表示商品。G－W表示货币通过流通转化为商品，尤其是马克思用一个数学公式的形式：G－W…P…W′－G′来表示货币资本循环过程。是多么深入浅出、简洁、明确！

在分析具体问题时，马克思经常直接地进行数学计算，就在这一章马克思写道：“…例如：假定劳动日的日价值=3马克，即5小时劳动的产物，那么，这个金额就会在买者或卖者之间的契约上表现为比方说10小时劳动的价格或工资。如果这种契约是和50个工人订的，那么，他们在一日中要给买者提供500个劳动小时，其中 ，即250个劳动小时=25个10个小时的工作日，完全是由剩余劳动构成的。…它还表示一种量的关系。即用在劳动力A面的货币部分利用在生产资料Pm上的货币部分的量的关系。这种量的关系一开始就是由一定数量的工人所要耗费的超额劳动即剩余劳动的量决定的。”看，在这里马克思所做的数学计算对说明什么是“剩余劳动的量”起了关键作用。

像这样用数学符号说明或表示经济学概念和理论，用数学计算来解释某个概念或证明某个论点。几乎在《资本论》的每一篇甚至每一章都有。

那么，我们现在应该学习马克思的什么呢？马克思、恩格斯对数学的态度和研究问题的方法给我们当前的大学生一些什么启示呢？

我们认为以下几个方面是值得很好地学习和认真研究的，尤其要认真地分析当前大学生在对待数学学习问题上认识存在的误区。

（1）当前大学生对各种思潮都学习、研究，甚至容易什么都接受，思想很开放。因此所学的内容很繁杂，由于繁杂，就容易乱，故什么都学习，既是优点，恰恰又是最大的弱点、缺点。对马克思主义的学习和研究缺乏，对马克思主义的两个核心内容：辩证唯物主义和历史唯物主义认识不足，缺乏用辩证的思维看问题。

马克思、恩格斯之所以对数学学习有浓厚的兴趣和忘我的钻研精神，就是因为他们有明确的学习数学的目的。要研究经济学，要研究“资本”，要研究社会的发展规律，离开数学是不行的。

（2）马克思研究《资本论》的方法是十分值得我们当前大学生很好地学习和认真地研究的。有以下几点尤为重要：①提出某个经济学概念或者某种规律，然后用大量的真实数据和严密的逻辑推理，证明概念和规律的正确性。②在讲解的过程中，运用了大量的数学符号，数学的字母表示概念，简单、易懂、明确。③建立数学表格，用表格表示数据。④建立经济学的数学模型，并且一步一步深入地说明这些模型的合理性。⑤建立了许多经济学的数学公式，运用严格的数学逻辑思维推导这些公式的正确性，无懈可击。

（3）不能只看到数学在科技领域或工作实践或后续学习的课程的直接应用。而更重要的是数学在方法论上的巨大作用，它能指导我们的思维，能帮助我们分析、推导、归纳、综合。无论哪个领域，包括思想问题、社会问题、经济问题、工程问题等。

而我们当前的大学生，往往只把数学看成能解决某种工程问题的一种工具，当他们看不到数学的直接应用时，就抱怨数学无用，何必花费这么多的精力和时间去学习、去研究它呢？

（4）数学的源泉是什么？大学生应该明确地认识这个问题。可以肯定地说：数学这门科学最初、最古老的问题是起源经验，是起源于实践的需要。如整数的产生、几何中的平行线、丈量土地问题、圆周与圆直径的比值等。“数和形的概念不是从其他任何地方，而是从现实世界中得来的。”恩格斯《反杜林论》（马克思恩格斯选集第三卷p77）。随着人类社会的进步，数学这门古老的学科已经经历了几千年的历史了，它的内容已经十分丰富，它自身也在不断地、独立地发展着。甚至许多分支已不再明显地受外部的影响。而是借助自身逻辑推理、逻辑组合，从特殊到一般，对旧的概念进行分析、综合，不断地产生新的概念，提出新的问题。用纯思维创造性地进行工作，而这也恰是数学“难”之所在，或者它的抽象之所在。概念建立在概念之上，定理建立在定理之上，这也是数学发展的必然结果。

我们的大学生应逐步摆脱仅从经验出发，仅从感性出发，仅从某个具体的问题出发，学会在经验和理性思维中进行选择。逐步适应和学会用某种纯思维方式去学习问题、去发现问题、去研究问题、去解决问题。

如果我们的大学生能够学习马克思、恩格斯研究数学的精神和方法，并将其付之于实践，那么他们不仅可以学好数学这门课程，更重要的是他们在分析问题、解决问题时就会有更好的思维方法和应用能力，尤其是将马克思主义的精髓——唯物辩证法逐步地应用到实践中去。

参考文献：

[1]编译组编译.马克思数学手稿[M].北京：人民出版社，1975.

[2]恩格斯.自然辩证法[M].北京：人民出版社，1971.

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