谈数学教学中的美育

[摘要]本文以数学教学为出发点，从数学的发展演变、表达形式、特点、方法等层面论述了数学美的深刻内含，从而为数学教学提供有益的借鉴。

[关键词]数学　教学　数学美

[中图分类号]G642 [文献标识码]A [文章编号]1005－5843(2008)02－0115－03

[作者简介]段学新，吉林师范大学应用工程学院教育与传媒系主任、副教授(吉林四平　136000)

数学教学与其他学科教学一样都是一种双边的活动过程，但由于数学的符号、语言的特殊性，使一些人感到神秘莫测，望而生畏。这就要求数学教育工作者在组织教学活动过程中，善于引导学生挖掘数学的内在美，调动学生学习数学的积极性，使学生感受到数学是一个瑰丽多姿的大千世界，进而激发他们去发现、去探索、去创新。

一、由数学的发展演变谈数学美

从结绳记事至今，数学史约有5千余年，可与人类文明史相媲美。数学作为一门科学是上下数千年全人类共同努力奋斗的产物，如今展现在我们面前的是一部宏大的历史画卷，是一部科学与愚昧、人与神、唯物主义与唯心主义、革新与保守的风云史诗。关于这些，作为一名教育者应把握住适当时机向学生渗透，使学生见到的不只是图形与符号，还有那些为图形与符号奔波奋斗者的品质、性格、思想、情感、理想、愿望、智慧与才能，以达到心底的共鸣。

古希腊人把数学和神等同起来，认为数(自然数)统治着宇宙。希帕索斯是第一位发现单位正方形的对角线长度不能用有理数表示的人，但这与古希腊哲学家毕达哥拉斯“凡物皆数”相违背，他因坚持真理而受到迫害；阿基米德在公元前212年罗马人攻入叙拉古的时候被害，当时他在沙地上画几何图形，由于沉醉于几何求证过程以至于没有听到刚攻进城的罗马士兵的喝问，惨死在那个士兵的屠刀下；欧勒是18世纪最著名的数学家，他以每年大约800页的速率发表高质量的独创性的研究文章，1766年双目失明，在17年全盲中写出了400篇研究文章和一批著作；华罗庚先生奔波一生。在异国讲坛上瞌然长逝……为数众多的数学家为数学的发展辛勤耕耘、奋斗终生，为人类数学史谱写了光辉的篇章，这种可歌可泣的光辉业绩正是抽象符号背后的数学美。

数学，由于生产实践的需要在远古时代就已产生，首先出现的是自然数，继而发展到整数，解决了减法运算问题；为了使除法运算通行无阻，引入了分数，得到了有理数域；为了使极限运算得以进行，引入了无理数，得到了实数域；为了解决负数不能开偶次方问题，引入了虚数，得到了复数域。数学随着一个新的层次的扩充，把人们带入一个新的领域、一个新的世界。作为教育者要充分把握住层次的递进性与连续性，使学生在循序渐进中体验到数学的内在规律，感到学无止境，如果能钻到数学之中，一定会觉得这是一部优美的“史诗”。

斯蒂恩曾说：“从欧几里得至今在长达二十五个世纪的全部历史中，数学从来没有像现在这样生机勃勃，精力旺盛。数学家在哲学上所经历的沧桑巨变，在智力上所取得的长足进展，其学问之渊博，其造诣之深远，绝不亚于那些一举成名天下的物理学家或那些兼任政府枢密顾问的经济学家。”美国代数学家P.哈尔斯说：“数学是创造性的艺术，因为数学家创造了美好的概念；数学是创造性的艺术，因为数学家像艺术家一样地生活，一样地工作，一样地思索。”我们说，数学中的美不仅在于它的本身，最根本的是它呈现了人本质的精神力量，为数学奋斗的人们用他们的崇高品质和坚忍不拔的毅力给数学增光添彩。

数学历史源远流长，古代数学是在总体的数和形的关系上把握自然界的，因此古代的数学本质是一种感觉直观的关于数和形的综合科学。从17世纪产生解析几何和微积分后，数学以一种崭新的面貌蓬勃兴起。数学越发展，它的领域就越广阔；概念越抽象、分支越多，应用就越广泛，它的基础也就更加牢固。数学在它的发展过程中把新的理论成果不断添加到正在形成的领域中，形成了新的方向，升华到新的高度，产生了广阔的边缘学科，并且彼此互相渗透，使它的基础更加坚实。如此可说，数学美在其表、美在其里，更美在其人。

二、由数学的表达形式看数学美

自古以来，人们在研究数学的同时，就在研究数学中的美，亚里士多德认为美在于数，在于美的比例和谐。古希腊的毕达哥拉斯学派提出：“一切立体图形中最美的是球形，一切平面图形中最美的是圆形。”可以毫不夸张地说，每一个空间图型都包含于数学之中，一切伟大的、历史的、现代的建筑都是一些简单几何体的堆积。

数学以现实世界的空间形式和数量关系作为对象，数学的发展是以数和形两个基本概念作为主干的，整个数学就是围绕这两个概念的提炼、演变和发展而发展的。但是数和形不是互相割裂的，早在数学的萌芽时期，就通过长度、面积和体积把形和数联系起来，我国宋元时期更系统地引进了几何代数化的方法。随着历史的延续，伟大的笛卡尔创立了解析几何，达到了形数结合。曲线可以用方程表示，通过研究曲线来研究方程式的性质，如数学中的直线、圆、椭圆、双曲线、抛物线等，而极坐标的出现，使这些曲线又简单地统一于极坐标方程。

美国代数学家P.哈尔斯说：“绘画来自物质现实，数学也是如此——但画家不是照相机，数学家不是工程师……在绘画与数学中，美有客观的标准——画家讲究结构、线条、造型、肌理，而数学家则讲究真实、正确、新奇、普遍——不过比起来，这些都是容易满足的。”拓扑学家沙利文说：“我觉得数学就像一株树木，它是从数和空间这类最基本的东西里生长出来的，但已远远超过了这些，长出千奇百怪的分枝和花朵。”

几何图案的动态美给人以无限的联想。我们能在电脑上显示一个往复曲折、翻腾的曲线，这是一个动态的充满遐想的图案，顷刻之间，整个屏幕就被曲线填满了，这是一件数学的艺术品，给每个观众以几何娱乐的强烈感觉。一个人若沿着梅比乌斯面向前走，一圈之后，就会发现自己已经头朝下了，使人产生奇异的联想，而填满全部S3的克里福特平行线又是那样的引人入胜。几何图形的中心对称、轴对称、镜象对称都给人以美观、舒适之感，二项式定理展开的对称性由杨辉三角形看得更加清楚，感到美妙无穷。

最优分割点即黄金分割一直被认为是美的形体比例。黄金分割在实际中应用很广，如窗户、书本的设计，建筑中某些线段的比，报幕员不站在舞台中央而偏在舞台的一侧，均是黄金分割点的有效运用。如果从一棵嫩枝的顶端向下看，可以看到叶子也是按照黄金分割的规律排列的。在很多科学实验中，选取实验方案时常用一种0.618法，也是黄金分割的一个重要应用。更为有趣的是，一些书法家在论及书法时认为：汉字结构的重心大多数宜在偏左上方，以符合黄金分割律为美。

现代数学中有一个常用的方法，就是把一个个

函数看作一个个“点”，而把某类函数的全体看作一个“空间”，函数间的相异程度看作“点”之间的“距离”，由此得到各种无穷维的函数空间。一个微积分方程组求解，往往归结为相应函数空间中的一个几何变换的不动点问题。

学生在学习数学时，作为一名教师不但要教学生“学会”，而且应当教学生“会学”，引导学生善于从一般中找出共性、从特殊中找出一般，通过观察、比较、联想最后得到升华。教师把自己所了解的理性与感性的数学知识，包括数学中的美传授给学生，有助于学生数学能力的提高。

三、由数学特点看数学美

同其他学科相比，数学是比较抽象的，这是它的第一个特点。A+B=C既可以表示2斤西红柿加5斤土豆等于7斤蔬菜，也可以表示陆地加海洋等于地球，还可以表示动物加植物等于生物。到目前为止人们还不知道有什么事物不能由这个代数式表示出来。

世界上存在着无数的几何体，许多图形复杂到令人难以描述和绘制的程度。然而一个代数式则把全部几何体囊括其中，可以求出常人所熟知的所有平面和立体图形的积。这虽然高度抽象，但是简单、实用。

几何学中的“直线”概念，并不是指人们看到的拉紧的线，而是撇开它的质量、弹性和粗细，只留下“向两方无限伸长”这一属性。这是客观世界所没有的一种抽象，正因如此，才使数学具有更广泛的应用性。而且数学的抽象远远超过了自然科学中的一般抽象。比如，数学由原始的自然数开始，一直到实数、复数、微分、积分、泛函、N维空间，以至于无限维空间等都是由简单到复杂、从具体到抽象不断深化的过程。正如列宁所说的那样：“一切科学的(正确的、郑重的、不是荒唐的)抽象，都更深刻、更正确、更完全地反映着自然。”

物质空间是数学最丰富的源泉之一，人类的社会实践是数学产生的源泉。数学以其高度的抽象性和应用的广泛性而著称于世，人们从一个丰富多彩的世界中抽象出数学概念，用一些简单的符号表示出来，反过来又囊括大干世界的众多事物和现象。在这里，事实和幻想竞相争妍，使人始终有惊奇之感，这正是数学美的体现。

数学的第二个特点是逻辑的严密性、结论的确定性。欧几里德《几何原本》仅从五个公式出发，利用逻辑推理的方法，推演出整个几何体系，把丰富而零散的几何材料归纳成系统严密的整体，在两千余年的历史长河中为世人垂青和赞许，成为人类历史上的伟大杰作之一。

德国数学家希乐伯特在研究欧几里得整理出的公理体系后说：“欧几里德关于点、直线和平面的定义，在数学上并不重要，它们成为讨论的中心，仅仅是由于它同所选择的诸公理的关系。换句话说，不论是管它们叫做点、线、面，还是桌子、椅子、啤酒杯，它们都能成为一种对象，对它们而言，公理所表示的关系都成立。”数学定义、定理的表述仅是一些数学语言与符号，通过逻辑推理的方式严格定义和证明的，各种语句与符号之间只存在逻辑结构的关系。数学体系的形成过程就是由少数定义、定理做基础，利用数学语言与符号，通过逻辑推理的方法，推演出整个数学体系，产生出一个个数学分支，使得数学成为系统严明的一个整体，每一个从事数学研究的人，无不为数学严密的推理过程所折服。

许多人都喜欢数学，原因不仅仅在于它的重要性，而是由于它推理周密，判断准确，给人以严格的逻辑思维训练，而这种演绎的思维方法有时甚至比学到的数学知识还重要。因此，数学教学的一个重要任务就是培养学生的逻辑推理能力，使学生通过严密的逻辑思维训练，不仅要掌握数学知识，而且还要用这种方法去认识客观世界，即认识世界的基本方法。

数学的第三个特点是应用的广泛性。我们几乎每时每刻都要在生产实践和日常生活中用到数学，比如丈量土地、商品交换、股票交易、制订计划、统计分析、设计建筑、航天航海、天文地理等等。如今，数学在现代科学中的应用更为广泛，已深入到自然科学、社会科学的各个领域，可以说，没有数学，就不会有今天的人类和人类科学。

数学的高度抽象性、逻辑的严密性和应用的广泛性使其具有强大的生命力，与此相伴随的包容与缜密、伟岸与英姿、兴盛与宏大的品格更是其美的最好象征。

四、由数学方法看数学美

数学的美感主要是通过问题的解答使我们心灵产生的一种满足。任何一个严密的数学问题，都是一个有机的整体，其各个部分的关系是非常密切的，并且表现出高度的和谐性。但这种关系的外部表现形式是多种多样的，有时给人一种杂乱无章之感，这就要求我们从中理出头绪，从对立中看到和谐和统一，寻求解题规律，掌握基本方法。

对具有延续性的相邻命题的论证可采用数学归纳法。数学归纳法，步步为营，环环紧扣，从特殊到一般，由表及里，证法严密，无懈可击；布局合理，结构严谨，和谐完美，题型浪漫。正如美国数学家波利亚在《数学的发现》一书中所言：数学归纳法的推理会迷惑许多初学者，事实上，它也许像是魔鬼的把戏，如果你把小手指给他，他会抓住你的整个手。承认第一条引理，你只不过给了一个手指(n=1)，然后，第二条引理抓住你的第二个手指(n=2)，然后再抓住第三个手指、第四个手指等等(n=k)。并且最后，即使你有无限多个手指，也会全部被抓住(n=k+1…)。

公元一千年左右，印度数学家戈涅西已经知道圆的面积等于一个矩形的面积，矩形的底等于半圆周长，矩形的高等于圆的半径，他的证明方法就是下面这个有名的图形。

尽管这种证明方式粗糙一些，但这种发明在当时已经难能可贵了。如今人们用谁也不能经历的极限过程，把圆的证明推到了一个“美妙的世界”。

几何证明的过程，就是从已知条件通过推理论证达到所求结论的过程，在这一过程中往往需要跨越一些似乎不能跨越的阻碍和鸿沟。这中间引入辅助线是从已知通向未知的桥梁，引入恰当，就有“山重水复疑无路，柳暗花明又一村”之感。

从初等数学到高等数学，美的实例可以说是不胜枚举，但最终的目的只有一个：培养学生的学习能力和学习兴趣，使其不但热爱数学、研究数学，并能为数学发展作出应有的贡献。

总之，数学中存在着无限的和谐之美，这需要我们不断地挖掘和探索，以为数学教学中审美教育的渗透提供丰富的养料。

(责任编辑：赵淑梅)

推荐访问： 美育 数学 教学中