高中数学教科书中“应用”问题的认识

一、应用的层次性

1.在数学学科本身的应用。由于数学学科本身具有逻辑严密的特点,前面知识的学习为学习后面的知识做准备。换句话说,前面的知识要应用到后面知识的学习中。

2.在其他相关学科的应用,特别是物理及工程技术中的应用。

3.应用到现实情境中去。由于高中学生学习的知识毕竟还是有限的,他们用数学知识解决的现实问题,与应用数学家所面临的现实问题相比,充其量是个“准数学问题”,至少是“半数学化”的问题,是一个经过人为加工的“数学半成品”。

4.发现问题、提出问题、分析问题、解决问题这四者之间,能够发现问题、提出问题,这是要求最高的。能够解决已经“数学化”了的问题,对学生来讲,是个技能化的过程。而能够发现问题、提出问题、分析问题则是一个能力问题。

二、应用与基础知识的关系

对高中学生来讲,掌握数学的基础知识应该是教学的首要目标,应用是以掌握数学知识为前提的。应用不仅仅是目的,更重要的是过程,即我们不仅要使学生树立起数学应用意识,认识到数学的广泛应用性特点和应用价值,具备应用数学解决实际问题的规律性认识和操作性能力,而且还要切切实实让学生在应用数学中掌握基础知识和数学方法,学会使用数学语言,并受到数学文化的熏陶。很难想象,没有扎实的基础知识,谈何应用?

三、应用与计算机(器)

计算机(器)的普及,为数学的应用提供了先进的计算工具,更便于处理实际数据,使应用问题更加真实,切合实际;良好的演示平台,使数学应用有了广阔的空间,计算机能够把静态的变成动态的,把抽象的东西具体化、直观化,使人们的思维能够得到一定程度的延伸。

四、从数学学习和数学活动看“应用”

数学不同于其他自然科学,它具有逐级抽象的特点。从客观实际、现实世界中的抽象只是数学的低级抽象;脱离具体事和物的数量关系和空间形式的数学研究的对象是数学的高级抽象。高级抽象是在低级抽象基础上的进一步抽象,它的研究对象是一种形式化的思想材料,是经过人加工了的思想,是人对自然界的概括和认识。数学的逐级抽象性的特点,说明了学生学习过程中思维发展的不同阶段和水平,因而数学的学习活动也是分层次的。学习的最低层次是数学的组织。通过学生自己的猜测、探索,从现实问题情景中提炼数学问题,发现问题及其规律,对问题有整体理解,这是学生数学地组织经验材料的活动层次;学习的第二个层次是将数学问题组织成原理,并用数学语言模式去描绘原理。即通过对脱离具体事和物的数量关系和空间形式的数学研究,构筑抽象理论意义的数学原理。这是学生组织经验领域的活动,是进一步抽象概括数学材料并提炼数学原理的过程;第三个层次是数学原理的验证、推广阶段。如果说前两个层次是“发现”原理的过程,那么这个层次就是验证推广的阶段。验证的过程实际是将“发展”的结果演绎推理的形式系统化、逻辑化的过程;最后一个层次是反省上述学习过程,将抽象结果应用于实际,用以指导现实生活。此层次的反省活动,是对前述认识过程的进一步认识,是对前述学习过程的反思,对整个学习过程起到调节和监控作用。斯托利亚尔认为,数学活动可分为三个阶段:经验材料的数学组织化、数学材料的逻辑组织化、数学理论的应用。这三个阶段构成了学生学习活动的完整过程,忽视甚至丢弃哪个阶段的做法都是不对的。学生亲自感受和经历“发现”数学的过程,也就是数学再创造的过程,唯有以再创造的方式进行数学学习,将知识的发生发展过程理清,才能在数学上向趋向成熟的下一阶段迈进。传统的数学课程只是按照以形式化了的现成的数学规则去操作数学。现在的数学课程强调了经验材料的数学组织和数学的应用。“应用”是一个非常大的话题,不但是课程教材改革的问题,而且还涉及教学、学习、评价(考试)等等。还有待我们深入研究。

作者单位:河北省迁安市夏官营高级中学

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