《场论与复变函数》课程建设探索

摘要：根据电子通信类本科专业在工程数学教学上的需求，开设结合了场论和复变函数两部分内容的新课程《场论与复变函数》。本文对课程建设中的教学内容、教学方法、教学资源等方面进行探讨。

关键词：矢量分析与场论 复变函数 课程建设 教学效果

中图分类号:G642 文献标识码:A 文章编号:1674-098X(2011)03(b)-0000-00

Course Construction of “Field Theory and Complex Functions”

LI Bin ZHENG Nengheng WANG Na

（College of Information Engineering, Shenzhen University, Shenzhen 518060）

Abstract:To fulfill the demands of teaching engineering mathematics for the students majored in electronics and communications engineering, a new course called“Field Theory and Complex Functions”should be constructed. The detail aspects of course construction, including the contents of the course, the teaching methods, and the teaching resources, are discussed in this paper.

Key Words:vector analysis and field theory; complex functions; course construction; teaching effect

1 引言

工程数学系列课程是四年制电子通信类本科专业的重要基础课程，是衔接《高等数学》与电子通信类专业课程的工具课。其内容涵盖线性代数、概率论与数理统计、复变函数、数理方程、矢量分析与场论等。在国内一些高校当中，前四部分的内容以单独开设课程的方式进行教学。而矢量分析与场论则由于教学内容不多，往往只在诸如《电磁场与电磁波》等专业课程中，安排2～6个课时讲解梯度、散度、旋度等内容，作为该课程的预备知识。但这种安排占据了专业课程一定量的课时，且不便于学生熟练掌握该部分的内容。考虑到《复变函数》与《矢量分析与场论》同属于工程数学系列，且两者内容之间存在一定的联系，可将这两部分内容合并，从而建立一门新的课程——《场论与复变函数》。

结合场论与复变函数的教学在国际上已有一定的实践案例。例如，美国华盛顿大学开设了《矢量分析与复变函数》（Vector Analysis and Complex Variables）课程，澳大利亚新南威尔士大学开设了《矢量计算与复变函数》（Vector Calculus and Complex Variables）课程。我国少数的高等院校也在進行一些有益的尝试。例如，西安电子科技大学开设的《复变函数》课程实际上已经包含复变函数以及场论两部分的内容。作为高校课程调整改革的一部分，建设《场论与复变函数》课程，对改革工程数学系列课程，探索行之有效的教学方法，提高教学质量，具有重要的实践意义。

2 课程建设思路

2.1 丰富教学内容

《场论与复变函数》作为工程数学的一部分，在本科教学中起承前启后的作用。因此，在实践中对教学内容需要把握以下三种关系。

(1) 复变函数和场论内容之间的关系

《场论与复变函数》并不是把复变函数和场论两部分的内容生硬地拼凑在一起，而应该将两者有机地结合起来。一方面，在教学实践中穿插讲授两者之间的相同点及关系。例如，平面矢量的方向余弦与复数的辐角之间具有可比拟性。又例如，一个平面矢量场A= Ax(x,y)i+ Ay(x,y)j可以用复变函数的形式A(z)= Ax(x,y) +iAy(x,y)表示。进一步，平面调和场的力函数和势函数是共轭调和函数，而复变函数中所讲授的解析函数其实部和虚部也是共轭调和函数。因此一个无源无旋的平面矢量场可以用一个解析函数（复势函数）表示。另一方面，在教学中需要强调复变函数和场论之间的区别，使学生更易掌握知识点。例如，矢量的乘法有点乘和叉乘，这与复数的乘法之间存在巨大的差异。

(2) 与《高等数学》课程之间的关系

《场论和复变函数》中的内容与《高等数学》之间存在紧密联系。例如，复变函数和矢性函数的极限、连续性问题可以转化为高等数学中的极限、连续性问题。复变函数的积分计算与高等数学中的第二类曲线积分的计算具有相似性。场论中的通量和环量的计算依托于高等数学中的二重积分和第二类曲线积分。同时，也要注意场论和复变函数中的内容与高等数学之间的区别。例如，复变函数当中的指数函数、幂函数、对数函数、三角函数的计算、性质具有其独特性。在教学时，采用对比教学的方式，使学生更易掌握知识点。

(3) 与后续专业课程之间的关系

在教学时，通过把后续课程需要用到的知识点结合起来，可以使学生能把握主次，激发学生学习热情。例如，将复变函数当中的级数、留数理论与后续电子通信类的专业课程《数字信号处理》、《信号与系统》当中的Z变换联系起来；将场论中的梯度与《数字图像处理》中用梯度算子进行边缘检测的例子结合起来；将场论中的散度、旋度、无源场、管型场、调和场等概念与《电磁场与电磁波》中的电磁场联系起来。

2.2 改革教学方法

为了增强学生学习兴趣，在讲授书本的理论外，可以适当增加实例讲解和上机操作环节，改革教学方法。

(1)增加实例讲解

通过讲解物理现象中的数学模型，可以使学生更深刻的理解知识点。例如，在讲解零、极点时可以与电路的串联谐振、并联谐振对应起来，阐明其实际物理意义。在讲解场论内容时，可以发放补充材料，说明互感M12=M21等物理现象的数学证明过程。

(2)增加计算机仿真

利用Matlab强大的数值计算功能，可以快速求出函数值的实部（real(z)）、虚部（imag(z)）、辐角（angle(z)）、模（abs(z)）、共轭函数（conj(z)）、指数值（exp(z)）、对数主值（log(z)）等，也可以方便地计算出留数（函数residue）、泰勒级数展开（函数taylor）等。利用Matlab绘图功能，还可以描绘出初等函数的图形。例如，图1所示程序可以画出指数函数的实部、虚部、模的图形。通过计算机仿真，既能使学生加深对概念的理解，又能提高其实际编程能力。

图1 指数函数绘图程序

2.3 合理安排课时和考核内容比例

在一些高校的教学体系中，《复变函数》占36学时，共2学分，而《场论》中的部分的内容安排在专业课程《电磁场与电磁波》中利用2～6个课时讲解，不独立占学分。开设《场论与复变函数》课程，可安排54学时，占3学分。其中，复变函数内容占42学时，场论内容占12个学时。可采取“先复变函数，后场论”的顺序。宜在第3学期或第4学期开设课程。在考核时，复变函数内容占70%～80%，场论内容占20%～30%。

2.4 开发教学资源

(1)编订教材

国内尚未有专门的《场论与复变函数》教材。作为新建设的课程，编订一本符合教学实践的《场论与复变函数》教材是函待解决的问题。

(2)开发网上教学系统

通过网络发布教学课件，及时进行师生交流、习题解答，达到及时互动、高效互动的目的。

3 结语

《场论与复变函数》是一门应用性极强的数学课程，既涉及数学理论和方法，又涉及专业应用。作为工程数学的一部分，《场论与复变函数》既是一门老课程，又是一门新课程。其“老”体现在其教学内容的基础是原《矢量分析与场论》及《复变函数》当中的内容；其“新”体现在课程的结构、教学方法等方面需要继续探索。我们已有的初步教学实践表明，开设《场论与复变函数》课程符合电子通信工程类专业本科人才培养的需要。

参考文献

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[5]杨冰,闫循领.浅谈matlab在《复变函数》教学中的应用[J].科技信息,2010(8).

①基金项目:深圳大学青年教师教学改革研究项目(编号:JG2010106),深圳大学青年教师教育教学能力培养提升计划。

注:本文通信作者为李斌。

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