高职高专院校《工程数学》拉普拉斯逆变换的几种解法

摘要：拉普拉斯变换是《工程数学》中的一个比较难于理解的知识点，尤其是拉普拉斯逆变换的求解。由于高职高专院校学生的接受能力较低，故作者总结了几种易于理解和运用的解法。

Abstract: Laplace transformation is a difficult point in engineering mathematics, especially the inverse Laplace transformation solution. Due to the low understanding ability of vocational school students, the author summarizes several simple solutions.

关键词：高职高专；工程数学；拉普拉斯逆变换

Key words: vocational schools；engineering mathematics；inverse Laplace transformation

中图分类号：O29文献标识码：A文章编号：1006-4311（2010）36-0276-01

0引言

高职高专院校的学生底子较薄，接受能力较低，对于《工程数学》中的很多知识吃不透。然而，在《工程数学》中关于拉普拉斯变换的内容相对较难，没有一定的数学基础和准备知识是更加难于理解和掌握的。

类似于应用电子技术、生产过程自动、电气自动化等专业在后续的专业课程又必须要用到这部分知识。所以，怎样才能学好、学透、学活拉普拉斯变换就成了《工程数学》教学中的棘手问题。本文就针对这种状况总结了几点易于被高职高专中仅修完了《高等数学》第一册的学生所接受的拉普拉斯逆变换的求解方法。

1公式法

所谓公式法是指利用拉式变换的性质将表达式做一些变形之后根据常用公式求出它的拉普拉斯逆变换。

例1求函数F（s）=的拉普拉斯逆变换。

解 因为L-1=sin3t，

所以L-1[F（s）]=L-1=L-1=sin3t。

2留数法

对于仅修完《高等数学》第一册的学生来说，留数是一个陌生的名词。想要把它解释清楚不是一两次课所能解决的，再加上本课程的课时数有限。所以，在教学中不必解释，只需说清具体的解法和公式。

现在要求F（s）的拉普拉斯逆变换L-1[F（s）]。根据留数法有L-1[F（s）]=Res[F（s）est，sk]，其中sk是的零点。只需求出各个零点的留数再相加即可。

留数的解法：若F（s）是有理函数，令F（s）=，其中A（s）、B（s）是不可约的多项式，A（s）的次数小于B（s）的次数。根据零点sk的类型有以下结论：

例2 F（s）=，求拉氏逆变换。

解 A（s）=1，B（s）=（s+1）（s-3）2，s1=-1是一阶零点，s2=3是二阶零点。

L-1[F（s）]=Res[F（s）est，-1]+Res[F（s）est，3]

Res[F（s）est，-1]=est|s=-1=est|s=-1=e-t

Res[F（s）est，3]=（s-3）2est=（t-）=e4t（t-）

所以，L-1[F（s）]=e-t+e4t（t-）。

3部分分式法

部分分式法是指将有理函数分解成最简单的几个有理分式之和。

下面给出部分分式法：令F（s）=，其中A（s）、B（s）是不可约的多项式，A（s）的次数小于B（s）的次数。

根据分母中因式的次数分为以下两种情况：

①当x-a是分母B（s）的一重因式时，分解后的式子中必定有一项是，其中A是待定常数。

②当x-a是分母B（s）的m重因式时，分解后的式子中必定有m项是++…+，其中A1，A2，…，Am是待定常数。

这些待定常数通过计算可以得到。

例3 求函数F（s）=的拉普拉斯逆变换 。

解 令F（s）=++则

As（s+1）+B（s+1）+Cs2=1，即（A+C）s2+（A+B）s+B=1

比较系数得A=-1，B=1，C=1，故F（s）=++

所以，L-1[F（s）]=L-1[-++]=L-1[-]+L-1[]+L-1[]=-1+t+e-t。

综上所述，这里共给出了拉普拉斯逆变换的三种易于接受的解法。方法是灵活多变的，选用正确的解法能够大大减轻计算量。希望学生能够多练习提高自己的解题能力，才能将这一知识学好、学透、学活。

参考文献：

[1]华中理工大学数学系.复变函数与积分变换[M]．北京：高等教育出版社，1999.

[2]陈文鑫，鲍程红，郑子含.线性代数与积分变换[M]．杭州：浙江大学出版社，2004.

[3]华东师范大学数学系. 数学分析[M]．北京：高等教育出版社，2000.

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