基于METLAB对一阶动态电路的响应分析

摘要：随着仿真技术的不断发展，计算机辅助电路分析已成为分析电路的一个有利工具。利用METLAB强大的运算和绘图功能，对动态电路进行仿真分析和计算。编写METLAB程序，采用与手算一致的思维方式和步骤，借助METLAB仿真软件对动态电路进行仿真，分析了不同时刻电路中参数的变化情况，并对其进行总结。大大减少了运算量，使电路的分析变得简单化。

关键词：METLAB 高阶动态电路 运算法

中图分类号：TM133 文献标识码：A 文章编号：1007-9416（2013）03-0223-03

“电路”是电气类学生及工程技术人员必须掌握的一门重要基础理论，它包含了深厚的理论基础，其分析的问题最终可归结为有关数学模型的求解。它虽然为具体电路的分析和计算提供了各种方法，但是对于复杂的电路分析，如：高阶动态电路的分析及计算，用人工的方法解决就显得比较困难了，有些甚至很难做到。

传统的仿真技术主要基于C语言等计算机专业编程工具，编程的工作量极大，仿真程序的可读性、可用性、可靠性都很难适应大型复杂系统仿真的需要。而MATLAB是一种广泛应用于工程计算及数值分析领域的新型高级语言，它是一种以矩阵运算为基础的交互式程序语言，集数值分析、矩阵运算、程序设计、系统建模和图形显示于一体，具有功能强大、使用方便、界面友好的用户环境，主要用于科学运算、控制和信息处理领域的分析设计。MATLAB的这些特点都为动态电路的分析提供了便利的条件。

动态电路的一个重要特征是当电路的结构或元件的参数发生变化时，可能使电路改变原来的工作状态，转变到另一个工作状态，这种工作转变往往需要经历一个过程，在工程上称为过渡过程（又称暂态过程）。由于这一过程的时间实际上都很短暂，故常称为瞬态过程。这是与电阻电路截然不同的，电阻电路的工作状态的改变是在瞬时完成的，不会经历过渡过程。而对于含有储能元件的电路，由于储能元件的储能不能发生跃变，故当激励或电路结构发生突变时，电路由原来的稳定状态到另一种稳定状态不可能即刻完成，而是需要一段过渡时间来使电路重新达到一个稳定状态，这段时间我们通常用表示，称为电路的时间常数。对于R-C来说，；对于R-L电路来说，。过渡过程的时间，从理论上讲是无限大的，但在大多数实际电路中，是极其短暂的，一般在秒或毫秒的数量级内。

产生过渡过程的原因有两个：1）电路中存在动态元件，由于动态元件中的储能是不能突变的，因而引起过渡过程。2）电路的结构或元件参数发生变化（例如电路中电源或无源元件的断开或接入，信号的突然注入等），而迫使电路的工作状态发生变化。

由电路的结构或元件参数变化而引起的电路变化称为“换路”。假设换路是在t=0时刻进行的，把换路前的最终时刻记为，把换路后的最初时刻记为，换路经历的时间为。当电路中含有电容元件和电感元件时，由于它们的电压和电流之间的关系是通过导数（或积分）来表达的，因而根据KCL、KVL和VCR建立的电路方程将是微分方程或微分—积分方程。在我们分析动态电路的过渡过程时通常是根据KCL、KVL和支路的VCR建立描述电路的方程，建立的方程是以时间为自变量的线性常微分方程，一般来说，电路中含有几个储能元件，则其电路方程将是几阶微分方程，然后求解常微分方程，从而得到电路所求变量（电压或电流）。

在求解常微分方程时，需要根据电路的初始条件确定解中的积分常数。初始条件是指电路所求变量（电压或电流）及其（n-1）阶倒数在时刻的值，也称为初始值。电容电压和电感电流的初始值，即和称为独立初始条件，其他的则为非独立初始条件。

我们在分析动态电路时常用的分析方法通常有：经典法、运算法和状态变量分析法。所谓经典法是根据KVL、KCL和元件的VCR建立描述电路的方程，建立的方程是以时间为自变量的线性常微分方程，然后求解常微分方程，从而得到电路所求变量（电压或电流），由于这种方法是在时域中进行的，所以又称时域分析法。在分析直流一阶电路的时域分析方法中，最基本的就是经典法。三要素法是由经典法总结出来的，利用三要素法分析直流一阶电路时，不需要列微分方程，只要求出中的三个要素并代入式中即可求得响应。三要素法是分析直流一阶电路常用的方法。经典法的优点是物理概念清晰，特别适用于直流一阶电路和正弦一阶电路。

当电路阶数较高时，列写电路的微分方程、确定初始条件和响应的积分常数就很繁琐，动态电路的时域分析法就受到了一定的限制。运算法是应用拉氏变换将时域电路的KVL、KCL和元件的VCR变换成复频域形式；将电路的时域模型变换为复频域模型（运算电路）；对运算电路列代数方程求复频域响应，通过拉氏反变换再求时域响应，从而避免了列微分方程，比时域法更加简单。

状态变量分析法就是对于某个动态电路，如果已知n个独立变量在时刻的初始值以及时电路的激励，就可以完全确定时电路中的所有响应，那么这n个对立变量就称为电路的一组状态变量（state variable）。以状态变量为位置量列写的一阶微分方程组就称为电路的状态方程。

对于任何集总参数电路，都可以应用KCL、KVL以及支路（或元件）的电压电流关系来列写电路方程。对于线性电阻电路，其支路电压电流关系皆为代数关系，所以用来描写线性电阻电路行为的方程是一组线性方程。由于电容元件和电感元件都是储能元件，其电压电流关系是微分或积分的关系，所以动态电路的分析和求解要比电阻电路复杂一些。

用一阶常微分方程来描述的电路称为一阶动态电路，也就是在电路中仅含一个独立的动态元件（或储能元件）的电路，简称为一阶电路。如果电路中仅含有一个电容和电阻或一个电感和电阻时称为一阶电阻电容电路（简称RC电路）或电阻电感电路（简称RL电路）。若在动态电路中只有一个电阻时该电路称为最简RC电路或RL电路，若除动态元件以外的电阻电路不是最简的形式，则可把除动态元件以外的电路用戴维南定理或诺顿定理进行等效，使之成为最简的形式。下面我们对一阶动态电路进行分析。

在一阶电路中由于只有一个储能元件，故我们所列出的微分方程为一阶微分方程。其运算量不大，我们通常采用三要素法来分析电路。

如图1所示一阶电路，已知，，，，，，在时，开关S位于“1”位置，且电路已处于稳定状态。在时，开关S闭合到位置“2”处，求，，并画出波形。

在求解动态电路时一般先列写出电路的微分方程。由题意或图形可知这是一个一阶动态电路，因此可用三要素公式来求解。

根据三要素公式：可知，只要知道、和这三个要素就可以列写出直流激励下一阶电路的全响应。

1.首先求、和的初始值。

2.求出、、

MATLAB仿真程序

clear

R1=4；R2=8；R3=6；C=1；us=20；is=4； %输入元件参数

uc0=-R3*us/（R1+R3）；ir20=uc0/R2；ir30=uc0/R3；

%求初值

ir2f=R3*is/（R2+R3）； %求稳态值

ucf=R2*R3*is/（R2+R3）；

ir3f=R2*is/（R2+R3）；

T=R2*R3*C/（R2+R3）； %求时间常数

t=0：0.1：10； %设定时间数组

uct=ucf+（uc0-ucf）*exp（-t/T）； %根据三要素求

ir2t=ir2f+（ir20-ir2f）*exp（-t/T）； %根据三要素求

ir3t=ir3f+（ir30-ir3f）*exp（-t/T）； %根据三要素求

plot（t，uct）；grid on； %绘出的图形

xlabel（‘t’）； %x轴表示时间轴

ylabel（‘uct’）； %y轴表示uct

plot（t，ir2t）；grid on； %绘出的图形

xlabel（‘t’）；

ylabel（‘ir2t’）； %y轴表示ir2t

plot（t，ir3t）；grid on； %绘出的图形

xlabel（‘t’）；

ylabel（‘ir3t’） %y轴表示ir3t

利用MATLAB对一阶电路的各部分进行仿真，其仿真图如下所示随时间变化如图2所示。

图2清晰的反应出当开关在“1”的位置时，电路处于一个稳定状态下，此时的电容电压达到一个稳定值，为-12V。当开关由“1”切换到“2”时，由于电路状态的改变使得电容在进入一个新的电路环境下开始充电，随着时间的上升电容充电电压的变化曲线趋于平缓，慢慢达到饱和。随时间变化如图3所示。

图3反应出开关闭合之前电阻的初始电流值为-1.5，开关闭合到“2”后，由于接入到一个新的电路环境下，受外加电容电压以及电路参数的改变，使得流经电阻的电流增加，随着时间的增加流经的电流变化趋于平缓。

随时间变化如图4所示。

图4反应了电阻在开关闭合之前的初始值为-2A，当开关S由“1”闭合到“2”后，电阻与电阻、电流源、电容重新构成一个新的闭合路径。因为电阻进入到一个新的电路环境下，由于受外加电容电压的影响以及电路参数的改变，使得流经电阻的电流增加，随着时间的增加流经的电流变化也逐渐趋于平缓。

动态电路中由于包含储能元件，其电压电流的关系不再是线性代数关系而是微分-积分的关系。在分析动态电路时，要首先考虑换路前后储能元件的状态，然后再结合基本电路分析法来分析电路。

编写MATLAB程序，利用MATLAB强大的运算和绘图功能分析动态电路中各参数的变化情况。发现利用MATLAB对电路进行仿真，能够很清晰的反应出电路中电容的充、放电情况以及电感磁场产生和消失的情况，更有助于分析电路状态，了解电路性能。随着计算机仿真技术的不断发展，计算机辅助分析将会越来越简便，成为各领域中不可缺少的仿真工具。

参考文献

[1]赵录怀，杨育霞等.电路与系统分析—使用MATLAB.北京：高等教育出版社，2003.

[2]陈怀琛.MATLAB6.1实用指南.北京：电子工业出版社，2000.

[3]邱关源.电路.北京：高等教育出版社，2000.

[4]施阳，李俊.MATLAB语言工具箱-TOOLBOX实用指南.北京：清华大学出版社，1998.

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