浅谈中学数学中的“抽屉问题”

摘 要：抽屉原则是由德国数学家狄里克雷最先运用于解决数学问题的，它是组合数学里最基本的原理，又叫鸽笼原理。首先回顾关于抽屉原则的一些基本知识，然后论述抽屉原则在中学数学解题中的应用。

关键词：抽屉原则；存在性；中学数学

在充满生命力的数学科学中，有一类与“存在性”有关的问题。例如，“8个苹果放到7个抽屉里，必定有一个抽屉里至少有2个苹果”；“13个人中至少有两个人出生在相同月份”；“把[0，1]内的全部有理数放到1000个集合中，一定存在一个集合，它里面有无限多个有理数”。在这一系列“存在性”问题中，“存在”的含义是“至少有一个”，我们称这类问题为“抽屉问题”。

抽屉问题涉及的运算比较少，依据的理论也不复杂，我们称这些理论为抽屉原则。抽屉原则是由德国数学家狄里克雷（P.G.T.Dirichlet）最先运用于解决数学问题的。它是组合数学里最基本的原理，又叫鸽笼原理或狄里克雷原理。这一简单的思维方式在解题过程中却可以演变出很多奇妙的变化和颇具匠心的运用，并且常常得到一些令人惊异的结果。

一、抽屉原则的表现形式

所谓抽屉原则，通常是指这样一个显然成立的命题，即每个集合看作一个抽屉，每个元素看作一个物体，如果有n+1或多于n+1个元素放到n个集合中去，那么至少有一个集合里包含两个或两个以上的元素。例如，如果有9个鸽子笼，养鸽人养了10只鸽子，那么当鸽子飞回笼中后，至少有一个笼子中装有2只鸽子。抽屉原则一般有如下几种表现形式：

抽屉原则的基本形式：

定理1：把n+1个元素分为n个集合，那么必有一个集合中含有两个或两个以上元素。

证明（反证法）：设把n+1个元素分为n个集合：A1，A2，…An，再用a1，a2，…an表示这n个集合里相应的元素个数。需要证明至少存在某个ai大于或等于2。

假设结论不成立。即对每一个ai都有ai<2，则因为ai是整数，应有ai≤1，于是有a1+a2+…+an≤1+1+…+1=n

定理2：把nm+1个元素分为n个集合，那么至少有一个集合含有m+1个或m+1个以上元素。证明略。

二、抽屉原则在中学数学解题中的应用

抽屉原则常用于解决一些结合整除、几何和染色等的存在性问题，特别是对一些看起来相当复杂甚至无从下手的问题常能发挥独特作用，从小学奥数、中学奥数、IMO到Putnam中都可以看到它的身影，在中学数学解题中具有广泛的应用。

1.中学数学中常见的“抽屉问题”

（1）整除问题

1979年，我国数学家柯召教授撰写的《初等数论100例》一书中提出了“任意2n-1个整数中，必有n个整数的和是n的倍数（n是任意一个正整数）”的猜想。1982年，单墫教授在《数学进展》杂志上发表了论文，他巧妙地利用华罗庚教授的专著《堆垒素数论》中的两个性质漂亮地证明了这个猜想。

我们知道利用抽屉原则很容易得到如下的性质：

性质1：任意3个整数中，必有两个整数的和是2的倍数。

证明：因为每个整数被2除的余数是0，1之一，所以用余数造2个抽屉：0和1。对于每个整数被2除后，余数是0的，放在0抽屉中，余数是1的放在1抽屉中。

由定理1可知：3个整数分放在2只抽屉中，必有1只抽屉中有2个整数，由此证毕。

例1.任意7个整数中，必有4个整数的和是4的倍数。

证明：因为7个整数是任意的，所以用a1，a2，…a7这7个字母代表。

由性质1知：a1，a2，a3中必有2个整数的和是2的倍数，为此，可设a1+a2=2m（m是整数）；同理，a3，a4，a5中必有2个整数的和是2的倍数，可设a3+a4=2n（n是整数）；a5，a6，a7中必有2个整数的和是2的倍数，可设a5+a6=2l（l是整数）；整数m，n，l中必有两个数的和是2的倍数，可设m+n=2s（s是整数），所以我们有

a1+a2+a3+a4=2m+2n=2（m+n）=2×2s=4s。

所以原命题得证。

与性质1类似的，我们有：

性质2：任意5个整数中，必有3个整数的和是3的倍数。

实际上，上述性质1，2以及例题中蕴含着更一般的定理：“任意2n-1个整数中，必有n个整数的和是n的倍数（n是任意一个正整数）”。

（2）几何问题

平面几何中有一些与点的距离、图形面积的大小关系的问题，涉及“至少”或是“必定存在”。这类问题用常规的几何方法难以解决，但是运用抽屉原则能解决，并有其独到之处。

例2.已知在边长为1的等边三角形内（包括边界）有任意五个点。证明：至少有两个点之间的距离不大于。（1978年广东省数学竞赛题）

分析：5个点的分布是任意的。如果要证明“在边长为1的等边三角形内（包括边界）有5个点，那么这5个点中一定有距离不大于的两点”，如果将原等边三角形分为4个全等的边长为的小等边三角形，则5个点中必有2点位于同一个小等边三角形中（包括边界），其距离便不大于。

证明：连接三角形三边中点D，E，F，则DE，DF，EF是△ABC的中位线。

又因为等边三角形边长为1，则有DE=DF=EF=。

显然有△AFE，△FBD，△FDE，△EDC是边长为的全等的小等边三角形。

把这四个三角形看做是四个抽屉，把△ABC内（包括边界）的任意五个点看作五个物体。

由定理1可知：必有两个点在同一个小等边三角形内。

再根据“三角形内（包括边界）任意两点间的距离不大于其最大边长”可以知道，在同一个小等边三角形内的两点之间的距离小于边长。

所以，边长为1的等边三角形内（包括边界）任意五个点中至少有两点之间的距离不大于■。

2.应用抽屉原则解题的步骤

熟练地运用抽屉原则解决抽屉问题，就必须明确解题的一般步骤。其常规解题基本步骤如下：

首先，分析题意，洞悉问题本质。这一步要求弄清楚题目中什么是“物体”，什么是“抽屉”。

其次，构造抽屉，选择最优构造方案。这是最关键的一步，合理地构造抽屉必须建立在充分考虑问题自身特点的基础上，要根据题目中已知的条件和结论，结合相关的数学知识，抓住最基本的数量关系，设计和确定解决问题所需的抽屉及其个数，为使用抽屉原则铺平道路。

最后，运用抽屉原则，达到解题目的。观察题设条件，结合第二步，恰当应用各个原则或综合运用几个原则，以求问题之解决。

（作者单位 江苏省丰县中等专业学校）

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