摘 要：本文从有限循环群的定义出发，结合有限循环群的定理；从欧拉函数的角度给出了有限循环群生成元的计算公式。
关键词：有限循环群 生成元 欧拉函数
中图分类号:O174 文献标识码:A 文章编号:1672-3791(2011)10(b)-0000-00
1 引言
通过我对陈显强老师著的《有限循环群的一个计数定理》文章分析，我受到一些启发，再结合目前的计算机专业的教材与常见的文章中很少提到有限循环群生成元的计数问题，即使提到也只是给出有限循环群生成元的定性分析而没有确定数量上的计数公式。有时在解题时，只需知道有限循环群生成元的个数而不需知道生成元是什么；如果能有一个确定的有限循环群生成元的计算公式，这样可以提高解题效率。本文就是针对以上所提到的问题，从欧拉函数的角度给出了有限循环群生成元个数的计算公式。
2 有限循环群与生成元
定义1 若一个群的每一个元都是的某一个固定元的乘方，我们就把叫做循环群；我们也说，是由元所生成的，并且用符号来表示，叫做的一个生成元。
循环群根据生成元的阶可以分成两类：有限循环群和无限循环群。
设是循环群，若是阶元，则，那么，称为有限循环群即阶循环群。若是无限阶元，则称为无限循环群。
定理1设是循环群
若是无限循环群，则只有两个生成元即和。
若是阶循环群即有限循环群，则含有（即欧拉函数）个生成元，对于任何小于等于且与互素的正整数，是的生成元。
5 结语
本文从欧拉函数的定义以及与有限循环群生成元的关系入手，详细阐述了有限循环群生成元的计算公式这个问题，从而使读者对有限循环群生成元的公式有更深刻的理解与应用。
参考文献
[1] 陈显强.有限循环群的一个计数定理,中山大学学报论丛, 2002(2):22,1.
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