推翻歌德巴赫猜想

1978年，已故著名作家徐迟先生的报告文学《歌德巴赫猜想》在引用数学王子高斯的名言“科学的皇帝是数学，数学的皇帝是数论”时谈到，“自然科学的皇后是数学。数学的皇冠是数论。歌德巴赫猜想，则是皇冠上的明珠”。(《歌德巴赫猜想》，人民文学出版社1978版，P52)现在看来，歌德巴赫猜想这颗“明珠”是假的；因为如果能够称为“明珠”，那么无论如何它必须是一个真命题，然而歌德巴赫猜想不是，它只能是一个伪命题，一个终于不真的假命题，或许今天的“明珠”应该改为“黎曼猜想”。因为我坚信“黎曼猜想”是真命题。

为什么说歌德巴赫猜想是伪命题?

首先，我们来看一看什么是“歌德巴赫猜想”。

歌德巴赫是18世纪德国的一位数学家，1742年提出了一种关于数论问题的直观的猜想。即：任何一个大于2的偶数，都将可以表示为一个素数与另一个素数相加之和，即所谓“1加1”的问题。与他同时代的大数学家欧拉也曾就这个“猜想”进行过“证明”，两百多年来更是吸引了成千上万数学家们的注意，包括被称为数学王子的高斯。然而，全都无功而返。

18、19世纪，无声无息；20世纪开始有了“进展”：1920年，挪威数学家布朗证明了“9加9”；1924年，数学家拉德马哈尔证明了“7加7”；1932年，数学家爱斯斯尔曼证明了“6加6”；1938年，数学家布赫斯塔勃证明了“5加5”；1940年，他又证明了“4加4”；1948年，匈牙利数学家兰恩易证明了“1加6”；1956年，数学家维诺格拉多夫证明了“3加3”；1958年，我国数学家王元证明了“2加3”；1962年，我国数学家潘承洞证明了“1加5”；1962年，我国数学家王元与潘承洞又证明了“1加4”；1965年，布赫斯塔勃、维诺格拉多夫和庞皮艾黎都证明了“1加3”；1966年，我国数学家陈景润证明了“1加2”。

这是迄今为止，全人类数学家们不断“推进地”(有理由怀疑，不是“推进”了，而是完全走偏了)证明歌德巴赫猜想的一个大致的历史过程。

到了21世纪的2010年11月13日的早晨，我突然发现，关于“1加1”的歌德巴赫“猜想”的问题，根本就不值得去“证明”。因为这个“猜想”并不是一个关于真理的命题，而是一个并非真理的伪命题、假命题。它之所以伪、假，在于它仅仅是一个既非永恒必然，也非永恒普遍的只能具有“特称判断”正确性的命题，而根本就不是一个真正能够符合永恒必然性、普遍性，从而具有“全称判断”正确性的真命题。说白了，歌德巴赫猜想之中真正出问题的是“任何偶数”之中的“任何”(相当于“全称”的“一切”)两字。如果仅仅是“有一些”，甚或“有大量”，它都没有问题；但是如果真是这样，这个命题也显然就没有价值了。换言之，根本就不值得人们拼命地去“证明”它了。

为什么会这样呢?这得从什么是素数谈起。

众所周知，自然数可以分为偶数和奇数，但也可以分为素数和合数。什么是素数呢?素数即只能被1和自身整除的数，例如2，3，5，7，11，13，17，19，等等等等。什么是合数呢?即可以被其他数整除的数，或可以被因数分解的数，例如4，6，9，12，14，15，16，18，20等等等等。比较奇特的是，1不被称为素数，这只是定义的问题，无关大体。由上面所述可知，自然数之中，不是素数即是合数，没有其他。通过上面所述，我们也可以知道，除了2之外，偶数都是合数；而素数除了2之外，其余必须是奇数，但奇数却不必都是素数，例如9、15，等等。

我运用集合论的方法来讨论自然数、偶数、奇数、合数、素数这五者之间的关系。我们把自然数、偶数、奇数、合数、素数全都看成是不同数字的集合，并运用z、O、T、H、s五个字母来分别表示自然数集合、偶数集合、奇数集合、合数集合和素数集合所具有的“势”。什么是集合的“势”?即集合中所含有的单位元素的可估算的个数，或可进行比较所设想的个数。

很显然，它们之间具有如下的关系：

z≥H≥O=J>s

(1)

公式之中所表示的“大于”(>)，不是一般数学之中的“大于”，而是集合论中特有的“大于”。说白了，它表示的“大于”是有关于“无穷大”的数量级别的“大于”；与大于同时的“等于”，则表示可以具有某种确定的“一一对应”的“映射”或某种完全确定的“运算”(公式)关系。

众所周知，自然数集合之中的整数的元素，显然是“无穷”的，而其他集合之中的元素也同样是“无穷”的。因为后面无论合数、偶数、奇数、素数集合，全都只是自然数集合的真子集，所以它们的集合的“势”绝对都只会比自然数集合的“势”(z)小，或如果具有其间“一一对应”的确定的“运算”关系的话，也可能成为“等于”。

合数集合的“势”(H)大于偶数集合的“势”(O)也是显然的，因为偶数中除了2之外，全都是合数，而合数集合之中还包括部分非素数的奇数。

在自然数集合之中，偶数的个数等于奇数的个数，这是显然的，所以有：

O=J

(2)

素数除了2之外，其余均属于奇数，而奇数之中除了素数之外，还包含了大量的属于奇数的合数，所以明显有：

J>s

(3)

如同上述，很显然，除了2之外，素数集合实际上是奇数集合的一个真子集，而且还可以更进一步地指出，奇数集合不仅是包含素数集合的集合，而且是包含了素数集合的所有幂集合的集合，即奇数集合不仅包含有单个素数组成的素数集合，还包含了双素数、三素数、四素数……全素数相乘等等的幂集合。说白了，奇数集合是素数集合以及其所有幂集合的全集合。所以非常显然，奇数集合的“势”，的确是远大于素数集合的“势”，二者在有关“无穷大”的意义上是完全不可以相互比拟的。明确地说，如果素数集合趋向无穷大的话，那么与此同时，奇数集合将以无穷大的无穷大的乘方的方式趋向无穷大的无穷大；或者更明确地说，它们之间根本就不可能存在任何可能一一对应，以及一以多应的确定的映射关系，或任何可能明确的加和运算(公式)的关系。

也正是因此，并由于公式(2)，所以也具有下面的公式：

O>s

(4)

因为偶数集合的“势”等于奇数集合的“势”，所以偶数集合的“势”也同样远远大于素数集合的“势”。

更普遍的还有，自然数集合的“势”更同样是远远大于素数集合的“势”，如下面的公式所示：

z>s

(5)

这样一来问题就尖锐地爆发出来了，同时也基本上可以获得解决全部问题的最关键的途径了。

歌德巴赫猜想指出：任何一个偶数，都可以由两个素数之和来(与之一一对应，或一以多应地)相等。这从集合论的理论来说，即是偶数集合之中的任何一个元素，都将可以与素数集合中的两个元素之和至少

“一一对应”(所谓“至少”是指，也包括“一以多应”，例如一个偶数在通常的情况之下，很可能会有多个双素数之和与之“对应”)。但是这可能吗?事实上它绝对不会普遍地可能，不仅两个素数之和不会普遍地可能，甚至任何有限的k个素数之和也同样不会普遍地可能，因为偶数集合的“势”，以及自然数集合的“势”均远远大于素数集合的“势”，所以它们的元素与素数集合的元素之间，将绝对不可能会具有任何完全确定的(单方向的或双方向的)一一对应的，或一以多应的“映射”，或完全确定的“运算”(例如数个素数相加之和)的关系。

运用通常的语言来说，即是在愈来愈趋向“无穷大”的场合，所有的素数都将会被愈来愈大量的合数所冲散、所隔离，也即素数的密度将绝对地会变得愈来愈非常非常地稀疏，甚至不可避免地将愈来愈趋向于0，以至将绝对必然地会发生如下非常普遍的情形：

s(n)>ks(n-1)+1，其中k=2、3、……m

(6)

公式之中s(n)、s(n-1)分别表示第n和第n-1个素数，m、n均表示任意有限大的自然整数。

如果在上述公式之中取k=2成立，那么即可以明显地看到，任何处于2s(n-1)与s(n)之间的偶数，就将绝对不可能会具有两个素数之和能够与之一一对应地，或一以多应地相等。这正是说明了歌德巴赫“猜想”的不可能存在的绝对的必然性。

另外，如果相应地取k=3、4、5，等等等等，上面的公式(6)也依然成立，那么也可以更一般地说，任何处于ks(n-1)与s(n)之间的自然数，也同样将不可能会有三个、四个、五个，等等直到(奇数或偶数)k个素数之和与之一一对应地，或一以多应地相等。例如对于任何一个处于ks(n-1)与s(n)之间的奇数来说，就将不可能会具有3个、5个等等直到奇数k个素数之和能够与之一一对应地或一以多应地相等；或对于任何一个处于1(s(n-1)与s(n)之间的偶数来说，就将不可能会具有2个、4个等等直到偶数k个素数之和能够与之一一对应地或一以多应地相等。

这样一来，我们就完全地推翻了歌德巴赫猜想作为真理性规律存在的任何普遍、必然的可能性。

由上述公式也可以一般地进行理解，素数在自然数轴上的分布密度，将随着自然数的加大而逐渐地变得愈来愈稀疏，我们不妨做一个比喻，在全部自然数域，合数是“太平洋”，而素数仅仅是太平洋上非常有限的“小岛”。或者还可以更进一步精确地指出，在自然数轴上，随着自然数字的不断地增大，合数所拥有的存在发生的概率，将愈来愈趋近于1，当然不会等于1；而素数所拥有的存在发生的概率则将愈来愈趋近于0，当然也不会等于0，而只是变得愈来愈稀疏，亦正是因此，也将永远都不会产生最大的素数。这种情形也可以通过下述的关于自然数、偶数、奇数、合数、素数在实轴上的分布密度的趋势来加以说明。

很显然，自然数在实数轴上的分布密度是均匀的1，而偶数和奇数的分布密度分别为1／2，而且它们的分布也是非常均匀的；然而合数和素数的分布则是非常不均匀的，合数的分布密度是从0不断起伏地趋近于1，而完全相反，素数的分布密度则是从1不断起伏地趋近于0。我们还可以在实数轴上具体地画出上述各种数的分布密度变化的情形。

很显然，由于素数在自然数轴上的分布，必然会按照自然数的无限地加大而变得愈来愈稀疏，所以上述的公式(6)就将会必然地在达到了某个巨大的数字之后获得满足，所以，歌德巴赫猜想，也将必然地不可能是一个能够获得“全称判断”的真命题。所以，歌德巴赫猜想作为一个“全称判断”的命题就将绝对必然地不可能是一个真命题，从而获得了证明。

在上述的意义上，有理由认为相传已久的素数定理，其实也只是一个非常粗糙的近似的定理，即Ⅱ(x)／(x／10g x)当x趋向无穷大时，并不是简单地等于1，而是一定小于1，甚至最后有可能趋于0，但不会最终等于0；而且这个定理也在很大的程度上掩盖了如下事实的真象：Ⅱ(x)是实数轴上离散地存在的小于x的素数(整数)的个数，而且它出现的离散的程度将一定会愈来愈变得巨大，到了最后，甚至长距离地不出现，而x／(logx)则是实数轴上连续存在的实数，关于这一点，读者必须清醒地认识到。正是为此，我们必须进一步弄清楚，黎曼猜想如果是正确的话，它的可能获得最后证明的真正的结果，这个结果对于进一步证伪歌德巴赫猜想将会是极有价值的。

曾在全世界最早证明了费马大定理的我国著名的数学家蒋春暄先生，曾证明黎曼猜想是错误的。我看过了蒋春暄先生的证明，他的关于蔡塔函数不能直接等于零的证明是正确的，但却不能因此而完全否定黎曼猜想。关于这一点我的看法完全不同：真正具有零点的应该是关于蔡塔函数的微分方程，而不是蔡塔函数本身(在这点上，关于黎曼猜想问题的描述者们，甚至包括黎曼本人，几乎全都错了)。我认为，只有在这个意义上，黎曼猜想才会是正确的，而且黎曼猜想确实是一个非常伟大的数学天才的构想。我以后将专门讨论黎曼猜想的问题，并希望有可能真正破解黎曼猜想，以便充分地证明他伟大的正确的预见，而不仅仅是猜想。我深信，当黎曼猜想进一步获得了证明之后，歌德巴赫猜想的问题也将会非常容易地被证伪。

因为歌德巴赫猜想必然不是一个真命题，所以歌德巴赫猜想不可能是数学皇冠上的真明珠，而只能是一颗长期以来未能获得人们真正辨识的假明珠。

令人遗憾的是，如此一个非常明确的结论，竟然会在过去的260多年的漫长的岁月之中，蒙蔽了那么多伟大的数学家。他们为它付出了那么巨大的“证明”的努力，视之为世界数学难题。现在看来，如此的“证明”真是意义不太大，而且是浪费智力。这完全应该看成是260多年来人类整个数学界的一个巨大的迷误，甚或是对过去的某些数学大天才的盲目的迷信。数学界的所谓歌德巴赫猜想问题，很有点类似物理学界的“永动机”问题。只不过，物理学界的永动机问题还不至于成为像这个猜想，在延续了长达两百六十多年之后，人类仍然不能对之作出任何具有真实意义的辨识。

我今天斗胆推翻歌德巴赫猜想，并希望永远终结这个猜想，从此完全回归数学的真实。

另外，古希腊以来，西方的数学界就一直视“素数”为全部数学的“原子”，并从而认定正是“素数”组成了所有一切的数。其实，这是一个非常不符合逻辑的迷信，我今天不仅要推翻歌德巴赫猜想，还要进一步推翻“素数”是全部数学“原子”的更古老的希腊数学传统的迷信。因为我认为，全部数学真正的“原子”，或“基本粒子”应该是。和±1，正是这三者，生成了全部数学的“万物”。

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