离散数学的学习方法及应试技巧

摘要：分析了离散数学的课程特点，给出学习该课程的指导性方法；结合考试中的各种题型，给出了相应的复习方向及应试技巧，并结合教学实践提出了相关建议。通过推广这些方法和技巧，本院学生的应试成绩得到了普遍提高。

关键词：离散数学；课程特点；常见题型；解题技巧

0　引言

离散数学主要研究离散量的结构和相互间的关系，它充分体现了计算机科学离散性的特点。由于离散数学在计算机科学中的重要性，许多大学都把离散数学或其中一部分作为研究生入学考试的内容。作为计算机专业的一门专业基础课程，离散数学有与其它课程相通相似的部分，当然也有它自身的特点。本文首先分析了课程特点，然后根据常见题型给出了应试技巧，最后对课程的学习方法做了小结。

1　课程内容特点

1.1定义和定理多

离散数学是建立在大量定义上面的逻辑推理学科，因而对概念的理解是学习这门学科的核心。在学习这些概念的时候，特别要注意概念之间的联系——描述这些联系的实体是大量的定理和性质。

离散教学考试的一部分内容是考察大家对定义和定理的识记、理解和运用。这类内容往往因其难度低而在复习中被忽视。在研究生入学考试的专业课试题中，经常出现直接考查对知识点的识记的题目。对于这种题目，考生应该能够准确、全面地再现此知识点，任何的模糊和遗漏，都会造成极为可惜的失分。笔者建议，在复习的时候，对重要知识的记忆，务必以“准确、全面”为标准来要求自己。关于这一点，要使之贯穿于整个离散数学的复习过程中。离散数学的定义主要分布在集合论的关系和函数部分，还有代数系统的群、环、域、格和布尔代数中。一定要很好地识记和理解。

1.2方法性强

离散数学的证明题，方法性是非常强的，如果知道一道题用怎样的方法证明，很轻易就可以证出来，反之则事倍功半。所以在平常复习中，要善于总结，那么遇到比较陌生的题也可以游刃有余了。在复习中，学生应注重总结解题方法，同时还应勤于思考。对于一道题，尽可能地多探讨几种解法。

1.3有穷性

由于离散数学较为“传统”，出新题比较困难，不管什么考试，许多题目是陈题，或者稍作变化得来的‘。“熟读唐诗三百首，不会做诗也会吟。”如果拿到一本习题集，从头到尾做过，甚至背会的话，那么，在考场上就会发现绝大多数题目都见过或似曾相识。这时，要取得较好的成绩也就不是太难的事情了。

2　常见题型及解题技巧

2.1基础题

基础题是考察对定义的识记，以及简单的证明和推理能力。题目主要集中在数理逻辑部分和集合论部分。这些题目不需要思考，很容易上手。对这一部分的题目考生主要是要防止粗心大意和对定义记忆似是而非而丢失分数。如在主合取范式中，要注意极大项编码对应的指派与真值表对应的指派相反(这一点在许多的参考书里也会犯错误)；还要防止没有按照一定的方法而引起的错误，如我们在数理逻辑或者集合论里作等价推演时，可以省略若干不重要的步骤，而在推理理论原则不能省略任何步骤，否则被认为是逻辑错误。在复习中，还要注意融会贯通，例如，数理逻辑和集合论是相通的，因此记忆或者总结方法的时候可以综合起来，这样便于比较和理解。

2.2定理应用题

这类题目是最“固定”的一类，它主要体现了离散数学方法性强的特点。这一部分占了考试内容的大部分，学生应当在这一部分下功夫。记住了各种方法，也就拿到了离散数学的大部分分数。

下面列出常用的几种应用。

(1)证明等价关系：即要证明关系的自反、对称、传递性质。

(2)证明偏序关系：即要证明关系的自反、反对称、传递的性质。

(3)证明集合等势：即证明两个集合中存在双射。有三种情况：第一，证明两个具体的集合等势。可用构造法，或者直接构造一个双射，或者构造两个集合相互间的入射。第二，已知某个集合的基数，如果为N，就设它和R之间存在双射，然后通过f的性质推出另外的双射，因此等势；如果为NO，则设和N之间存在双射。第三，已知两个集合等势，然后再证明另外的两个集合等势。这时，先设已知的两个集合存在双射，然后根据剩下题设条件证明要证的两个集合存在双射。

(4)证明群：即要证明代数系统封闭、可结合、有幺元和逆元。

(5)证明子群：证明子群的定理有两个，但通常考第二个定理：设s，则∈是群，s是G的非空子集，如果对于s中的任意元素a和b有a*b-1是的子群。若对于有限子群，则要考虑第一个定理。

(6)证明格和子格：子格没有条件，因此和证明格一样：证明集合中任意两个元素的最大元和最小元都在集合中。

(7)图论虽然方法性没有前几部分的强，但是也有一定的方法，如最长路径法、构造法等等。

2.3难题

难题是考试中比较难以下手，用来拉开分数档次的题。难题主要有以下四种，我们来逐一进行分析。

(1)综合题

综合题是内容涵盖若干章节的问题。这类题大多数落在群论里面的陪集、拉格朗日定理、正规子群、商群这一部分中。这一部分结合的内容很多，而且既复杂又难理解，是整个离散数学中的难点。

拉格朗日定理把群和等价关系、划分结合在一起，又与群的阶数相挂钩(在子群中有一部分阶数方面的题是比较难的题，它的解法依据就在此处)；商群将两个群结合在一起，因为两个群的元素是不同的，因此必须把概念弄清楚才不至于混乱；同余关系把群和关系相结合，定义了一种新的关系；自然同态把正规子群和商群相联系，也是某些证明题的着眼处……当然，综合题不只这些。离散数学是一个融会贯通的学科，像集合论，图论等都可能成为综合题的命题点。

对于综合题，我们可以从两方面下手。首先不管题设如何，看所要证明的问题，按照定理应用的题型着眼，设出所需要的格式，然后进行进一步推演；其次可以先看题设，应用已知条件的性质定理向前推几步，看看哪一个性质更能够接近所问，题目也就迎刃而解了。

(2)例外题

例外题有两个含义。首先，是对于定理应用题而言的。对于一个概念的判定定理和性质定理不是惟一的，而定理应用题是给出的是最常出题的定理，因此有的考题可能考出一个不常用的定理。其次，例外题还有一种题型是与我们平常思维相悖的问题，如：有一些题目给出一个结论，说如果它正确的话请指出来，错误的话则请证明，凭做题经验通常是要选择证明的那条思路。其实也不妨用一些时间看看能不能指出来，从而不用证明：

(3)偏题

常常有的复习材料会说某某章是非重点，不会考到之类的话，这是非常错误和有害的。其结果是令这些章节成为读者复习中的盲点，又成为一种难题。这些章节通常概念少，定理不多，因此题目本身不难，但由于没有好好复习或者根本没有复习，拿不到分数是非常令人懊丧的。所以我们建议读者进行全面复习，除非是所报考院校明确说明不考的部分，其余内容一

律要认真复习。即使是复习时间比较少，也必须做到至少是了解了基本概念和定义。就内容而言，函数一章中的基数部分和格，以及布尔代数一章是人们容易忽略的问题。

3　结果分析

有很多学生不喜欢离散数学课程不仅是因为内容枯燥，更重要的是不了解它的作用。所以在实际教学内容中，教师不仅要强调知识点的把握，更要强调离散数学的广泛应用，比如与计算机学科的结合：离散数学与计算机网络，与数据结构，与计算机体系结构都有细致的结合。并且计算机提供了一个十分理想的让学生积极探索问题的环境，学生完全可以利用它来做数学实验，这样就能在问题解决过程中理解和掌握抽象的数学概念，而不仅仅是一些抽象的数学结论。在这样的过程中，教师更像学生的辅导者或帮助者，为学生提供他们需要使用的工具与资料，以便学生能够建构知识。教师在实验教学中，需要的是问学生一些探试性的问题，引导学生找到解决问题的方法，提供给学生存储与分析信息的工具。

多年的教学实践证明，在离散数学教学中增加实验内容，能取得十分理想的教学效果。重难点清晰，应试技巧明确的学习实践更能使离散数学课程的考核效果显著提升。

4　结束语

离散数学是计算机学科的一门非常抽象的专业基础课，在当前离散数学教学内容理论性强、学时少、任务重、教学方法和手段单一的情况下，本文从课程特点出发，结合课程考试的题型，总结了课程教学的重难点，并给出了各类题型的应试方式。学院多年的教学实践证明：通过所述教学过程学生学习离散数学的兴趣越来越浓，学习效果也明显提高。其具体表现为：一是通过不断提高学生对课程重要性的认识，结合理论知识与计算机的应用，走出课程学习的思想误区，提高了学生的学习兴趣；二是通过老师对教学方法、实验教学和教学手段的不断改进和提高，获得了更好的教学效果，促使教学质量得到了进一步提升。

参考文献：

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