数学天才硕果辉煌

有关一项惊人科学发现的新闻见诸世界传媒。传媒报道说，一个国际天文学家小组一直在研究150亿年前创造了宇宙的“大爆炸”所遗留下来的热量。研究小组在分析了这一热量中的“热点”模型后，得出一个令人难以置信的结论：构成宇宙的空间结构是平坦的。

对大多数人而言，太空有个“形状”的概念令人难以置信。但是对科学家来说，这个发现标志着一个始于150多年前的故事的最新结局，标志着一位堪称有史以来最伟大的科学家的研究成果的最新转机。这个科学家就是卡尔·弗里德里希·高斯。

这个宇宙学的发现只不过是表明高斯的理论在他去世将近150年后依然影响着我们的实证之一。查阅任何一本科学辞典，人们会发现高斯的名字出现在像统计学和战争这样差异甚大的领域中--在统计学领域，钟形的高斯曲线在描述人口特点时发挥着关键作用，而在战争中，核潜艇要进行“消磁”操作（这与高斯的磁学研究密不可分）以消除会泄露其行踪的磁场。

高斯在数学领域的每一个分支--从纯而又纯的纯数学，到最讲究实用的应用数学--中都发表过重要的研究成果，这是他之前和之后的任何数学家都比不上的。他奉行的苛刻标准使得他拒绝宣布其他许多研究成果，因为他认为这些研究缺少严格的求证。于是高斯将一些重要发现秘而不宣，学者们现在认为，这些发现原本可以把数学朝前推进半个世纪。

为数学而生：神童出世

高斯在很小的时候就跻身于天才之列。他于是1777年出生在德国不伦瑞克一个劳动者家庭。有一天，他让自己的家人认识到他那令人惊叹的数学天赋，那天，高斯在看父亲算账，小卡尔尖声说算错了，并对父亲说出了正确的数字。父亲重算的结果证明小卡尔是对的，这让父亲大为震惊--因为这孩子刚刚两岁。

高斯10岁的时候，他的数学能力甚至超过了他最好的老师。在第一次上数学课的时候，老师布置给高斯和同学们的作业是做等差级数的加法运算--所谓等差级数是指一系列差值恒定的数字，如371、413、455等。没等老师解释完题目，高斯就说出答案。高斯的同学花了一个小时才做完这道高斯几乎马上就完成的题--即便如此，也只有高斯一个人的答案是正确的。他为这种级数题归纳出一个公式，代入相应的数字，很快解出了这道题，所有这一切都是在他脑子里进行的，快得如同闪电一般。

高斯在心算和数学两方面了不起的数学天赋逐渐引起了不伦瑞克公爵的注意，他同意为这个孩子支付学费。上大学后，少年高斯便着手钻研其他学者（包括牛顿）的巨著并开始了他最初的数学研究。

高斯的早期研究成果涵盖了纯数学和应用数学两个领域，这也预示了他后来的学术生涯。到19岁时，他已经解决了有关整数性质的问题，这个问题曾令当时最好的数学家束手无策。高斯还发明了最小二乘法，这个方法适用于确定通过观察数据点的最佳曲线。他还发现了素数和几何图形（如三角形、正方形和五角形）之间的关系，并利用这种关系说明如何做出一个规则17边形--这个成就甚至超越了古希腊最伟大的几何学家的成就。

这些成就中的任何一项都可以确保高斯在数学巨子的神殿中占据一席之地，但他还只是刚刚起步。在进入德国戈丁根大学之后，他于22岁时完成了博士论文。他的论文有史以来第一次证明了作为求解每一个代数方程基础的代数基本定理。

对行星预测：一举成名

尽管这些发现很重要，但是它们并没有使高斯在国际上得到应有的承认。到1801年，情况有了改变，当时意大利一名天文学家声称发现了一颗位于火星和木星之间的新行星。

其他天文学家争相证实这个发现，但是新行星消失在太阳令人炫目的强光中--没有人知道这颗新行星下一次将出现在什么地方。高斯抓住这个机会一举成名。

通过用他的最小二乘法处理对这颗新行星不多的几次观测结果，高斯预测到了新行星下次出现的地点。几个月之后，天文学家把望远镜指向他预测的方向，再度发现了这颗新行星，其出现位置正是高斯所预言的地方。天文学家把这颗星命名为谷神星，它是目前所知的第一颗“小行星”，是火星和木星之间成千上万颗沿轨道飞行的大石块之一。谷神星的再度发现给高斯带来了国际声誉，当时他年仅24岁。

高斯在等待预言获得证实的日子里，也没有虚度时光。此前几个月，他出版了《算术研究》一书，这是数学领域最重要的著作之一。它的主题是数论，即讨论整数如素数等性质的一个数学分支。高斯的著作为一直持续到今天的数论研究奠定了基础。

继对谷神星的研究之后，高斯逐渐把自己的聪明才智用在应用型科学难题上。1807年，他成为戈丁根大学的天文学教授，此后一直留在戈丁根大学，一直到去世。

两年后，高斯又发表了第二部著作《天体运动理论》，这部著作阐述了如何计算轨道以及考虑太阳系中所有行星的万有引力。今天的天文学家还在使用他的这些方法。

研究几何学：秘而不宣

高斯随后把注意力转到地球研究方面。几千年来，人们一直认为地球是个完全的球体，直到后来艾萨克·牛顿表明地球的旋转使得地球在赤道部位稍稍有些突起。在研究如何测量地球形状时，高斯做出了一个重要发现：任何物体表面形状的计算，都可以通过检验它是否适用几何学的一般规则来进行。

在2000多年前，希腊数学家欧几里得确定了这些规则，例如认为平行线不管延伸多长都不会交叉。但是高斯认识到，欧几里得只是假设平行线是画在一个平坦表面上的。在曲面（如球面或行星表面）上，欧几里得的规律就不适用了--正如任何地球仪所显示的那样：经线在赤道以平行线形式出发，但是却在南北两极交叉。于是高斯开始向非欧几里得几何学研究迈进。在非欧几里得几何学里，教科书上的所有常用规则都不再适用。例如，在讨论非欧几里得平面时，三角形的三角之和不再是180度，圆的周长不再等于其直径与圆周率π之积。

高斯给出了一条能够解决这一问题以及其他许多问题的公式。例如，这个公式证明了地图测绘人员为什么永远无法绘制出一张完美的世界地图：球体表面本身有弯曲度，不可能将其“熨烫”得不留一点皱折。相比之下，圆柱体的曲面可以完美地展平--这表明，尽管圆柱体曲面看起来像是弯曲的，但是实际上并不弯曲。尽管获得了这些重要的发现，但高斯却一直把他的非欧几里得几何学研究成果秘而不宣：他似乎没有勇气挑战2000多年来的正统观念。

几年后，其他科学家重新提前了同样的概念，并开始加以利用。这些科学家包括艾尔伯特·爱因斯坦，他于1915年把非欧几里得几何学作为他新提出的广义相对论的核心。根据广义相对论，万有引力是空间和时间累积弯曲的结果，空间和时间的弯曲就像是一块巨大的橡胶板被炮弹打中一样。用广义相对论来解释宇宙，可以证明宇宙既可以像台球桌桌面那样呈零弯曲，也可以像球体那样呈正弯曲，还可以像马鞍那样呈负弯曲。

去年4月，对宇宙大爆炸遗留下来的外层空间热量进行分析的开文学家证明，高斯有关无须离开物体表面就能测量其弯曲度的说法是正确的。他们测量了宇宙本身的弯曲度---结果无疑会让欧几里得高兴：宇宙原来是平坦的。

勇闯新领域：两项贡献

到了1830年，高斯已经50多岁了，但是他仍在寻找新的挑战。他与德国物理学家威廉·韦伯合作，开始整理电磁学理论，这项研究在当时毫无头绪。高斯建立了一套用于度量磁力的灵敏单位（其中的一个单位“高斯”沿用至今）并证明了有关电磁电荷效应的一些关键定理。

高斯后来又做出了他对数学的最后一项重要贡献：奠定拓扑学的基础。简而言之，拓扑学是对能够扭曲、弯曲和拉长、但不能撕破的物体的研究。拓扑学有时被称为“橡胶板几何学”，许多年来人们把它当作是类似于智力游戏的东西。但是高斯觉得它对于人们了解宇宙至关重要。

历史证明高斯是对的：拓扑学现在是理论物理学--包括对解释宇宙中所有粒子的特性以及粒子间作用力的“万物至理”的探索--的核心。

高斯于1855年去世，享年78岁。他把自己的一生贡献给了数学，即便是在今天，他所留下的巨大智慧遗产仍然没有枯竭的迹象。

[编译自英国《焦点杂志》]

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