对称、非对称和迷宫

摘要：古希腊术语“对称一非对称”与数学中“可公度性一不可公度性”的发现有关，它们对于西方数学与演绎科学的诞生有密切关系。这些观念很快也在美学中显示了重要性，那就是成比例的与不成比例的。“对称”的拉丁化术语由于维特鲁威的建筑比例理论得以存留于世。到了17世纪，它又获得了新的数学含义，包括镜像、旋转、平移以及更一般意又上的不变性。对称的现代观念在晶体学、立体化学和理论物理中也有特殊的重要性，它在美学中则用来表达比例、平衡、韵律等。本文也讨论了从古希腊到现代的各种迷宫。关于克里特迷宫的希腊神话有多种版本，本文强调一种可能的克里特本土的观点。在考古学中，本文突出的是多中心发展的可能性而不是简单的单中心扩散理论。作者还借助大量实例讨论迷宫的历史，从克里特岛上的建筑直到中国皇帝在北京的圆明园。最后又对迷宫的数学作了详细的介绍，指出这一题材对现代数学和计算机科学发展的贡献。总之，对称与迷宫对于在艺术与科学的不同领域建立多种多样的联系渠道大有裨益。

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在葡萄紫色的大海中央，有一片叫做克里特的美丽而肥沃的土地。那里生活着许多人，数都数不清，还有九十座城市。他们的语言参杂各异。那里有阿开亚人、本地英勇豪迈的克里特人、库多尼亚人、戴着羽毛头饰的多里斯人和俊朗的裴拉斯吉亚人。其中有一座壮丽的城市就是克诺索斯，米诺斯九岁时曾在那里执政，他能与伟大的宙斯通话。

——荷马《奥德赛》

国际跨学科对称研究学会（ISIS）在四大洲都召开过大会，但是组织者过去忽略了对称的“摇篮”。现在，通过在希腊举行的第九届大会，让我们来纠正这种“非对称”。选择在克里特这个小岛而非大陆上某个地方作为会址是有特殊意义的，因为这样我们就有一个绝好的机会见识一下希腊的早期文明。除此之外，我们还应该关注另一个希腊岛屿萨摩斯，那里诞生了一个人，他的名字与“对称”这一概念密切相关。因此在转到克里特之前，让我们先看看“对称。这个概念的演变。

一、古希腊的对称

众所周知，萨摩斯岛的毕达哥拉斯（公元前6世纪）是数学、音乐和哲学的先驱。但是，我们对他可以确证的事迹几乎一无所知。他很可能并非是那个被冠以其名的著名几何学定理的发现者。在现今意大利的南部，毕达哥拉斯创办了一个带有宗教色彩的团体，其门徒和追随者将许多古代成就归于他的名下。

“对称”（symmetria）和“非对称”（asymmetria）的概念很可能是毕达哥拉斯学派因某个几何学中的发现而创造的，并很快地将其赋予美学意义。简单地讲，这一概念包含：数学中可公度的与不可公度的的长度。艺术中适当的比例和适当比例的缺失。

正方形（或正五边形）的边和对角线在长度上不可公度的证明象征着数学中的一个突破。从代数学来讲，他们发现了无法以两个整数之比来表达的无理数的概念。有人将这一发现归于米太旁登的希帕索斯（Hippasus of Metapontum，公元前5世纪），他是毕达哥拉斯学派的成员。到公元前5至4世纪的时候，“对称”这个词已经在数学和美学领域生根，这可以通过柏拉图和亚里士多德的作品得以证实。之后，欧几里得的《几何原本》（约公元前300年）中，有一卷详细描述了可公度性的原理，而且不仅限于长度，还把可公度性的概念推广到面积问题（symmetros dynamei）。有趣的是，虽然我们可以从中窥见某种现代意义的端倪，希腊人的对称并不指镜面对称。

随着希腊文化的衰退，“对称”这个词也失去了重要性。典型的例子是在拉丁文中与后来的西方词汇中，原先的用语都发生了变化：在数学中，希腊语的symmetria演化成拉丁语的commensus，最后变成现代的commensurability，在艺术中，希腊美学意望下的rymmetria演变成拉丁语的proportio，最终成为现代的proportion。

这里有一个无法回避的问题，symmetria是怎样成为一个拉丁文表述的？

早些时候我研究过这个问题。在华盛顿特区举行的ISIS大会上，我的答案有点出人意料。拯救“对称”这一概念并将其传承下去的功劳应该归于罗马建筑师和工程师维特鲁威（Vitruvius），他撰写了一部综合性的建筑学著作《建筑十书》（约公元前1世纪）。维特鲁威将比例方面的专业术语增加了—倍，并频繁使用两个相关的术语：其中symmetria指比例的一般理论（使用过85次），proporlio则与比例的实际应用有关（使用过32次）[Nagy 1995]。

有趣的是。希腊意义的“对称”在《圣经》中，特别是《旧约》里面仅出现过一次，并且是在有关建筑的语境中：

我将为自己建造一栋华丽的大宅（oikon symmetron），楼上的房间宽敞……（Septuagintnt，耶利米书22：14）

不过在以后的译本中，symmetron被别的词取代，继而消失得无影无踪。

在中世纪，幸存的希腊文和拉丁文手稿中，“对称”这个词极少使用。的确，除了欧几里得著作的阿拉伯文评注本外，需要使用这个概念的数学和美学作品寥寥无几。于是，这里出现了一个与“对称的故事”相关的值得进一步讨论的问题。

二、“对称”是如何演变成“镜面对称”等现代术语的？

让我们回到维特鲁威来。与其他综合性的古代建筑学书籍不同，他的著作幸存于世，并在文艺复兴时期获得了重要的地位。该书被广泛研究——就连达。芬奇也为维特鲁威的人体比例理论作了图解——并被翻译成意大利文（1521）、西班牙文（1542）、法文（1547）和德文（1548），进而产生了“对称”一词的派生词。“对称”这个词还出现在英文的建筑理论著作中（例如1563年John Shutc的一本书）。佩罗（claude Perrault）是一位由顶尖动物学家和生理学家改行的建筑师，他发表了维特鲁威著作全新的法文译本（Paris，1673），并添加了对称在美学上的作用，暗示了与镜像对称相关的新含义。

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