一道古典概型题的启示

一道题目两种解答结果，而且似乎都很合理，但答案并不唯一，究竟问题出现在哪？

一、分析与讨论

这是一道古典概型题，笔者认为可从下面几个方面来分析讨论.首先从定义上分析，新教材中对古典概型定义的描述具有两个特点：（1）试验中所有能出现的基本事件只有有限个；（2）每个基本事件出现的可能性相等.因此，古典概型首先要弄清样本空间，它必要满足这两个特点.这道题第一个特点显然满足，问题就出现在第二个特点上.解法一认为样本空间只有3种基本事件，但这3种是等可能的吗？比如（1，2，3）这种情况，虽然3段长度就是1，2，3一种，可截成这3段长度却有6种可能；而截成（2，2，2）这种情况只有一种可能，显然认为基本事件是3种就不满足可能性相等这个特点.而解法二就把截成3段的各种情况都列举出来，所以样本空间有10种基本事件是满足等可能性这个特点，因此答案只能是P=110.其次从排列组合的角度分析，若此题用排列组合方法来解答，就不难理解了：铁丝长为6，就相当于一条6个单位长度的线段，除两个端点外中间有5个点，要截成3段，就要选取其中2个点为截断点，共有C25.解题产生的错误原因就是表面上看是对样本空间的错误认识，但产生这种错误认识的深层原因是混淆了有序与无序的区别，即这道题的基本事件要讲顺序，如（1，2，3）与（1，3，2）是不同的基本事件，而非一样.再深究其错误的本质原因是没有理解透古典概型的定义，尤其是定义的第二个特点.

二、教学启示

1.课堂上要充分利用好教材

在概率教学中常发现学生具有较多的错误观念.因为学生过去接触的主要是确定性事件，而对不确定事件的认识非常有限，学生的头脑中有关概率事件的认识大都来自个体的一些直觉的、不成熟的经验，使学生很难用已获得的解决确定性数学问题的思维方式去求不确定性的概率问题.所以在概率教学中，要精选案例，恰当地运用，如对比辨析、反例纠错、错误尝试、合作交流等教学方法和策略.

实际上，关于辨析概念的问题，教材也给出了一个案例：同时掷两个骰子，计算向上点数之和是5的概率是多少？

教材上的解答就是把两个骰子标上记号1和2以便区分，从而得出共有36种结果，而点数和为5的有4种结果，于是得P=436=19.随后还安排了一个思考题：为什么要标上记号？如果不标上会出现什么情况？你能解释其中的原因吗？接着还给予解释，让学生彻底区分有序与无序的解题结果，从而加深了对定义的第二个特点的认识.

2.课堂上要重视概念教学，适当进行数学活动

概念教学是数学教学的重要内容，在概念教学中怎样才能让学生深刻理解和掌握概念的内容，以致能正确地运用，是概念教学的最终目的.因此一节概念课一定要认真设计，讲明讲透，不能简单地用“一定义、二要点、三注意”的形式讲完就好了，然后就讲例题或做练习，这是典型的“重结果轻过程”.而就古典概型而言，笔者认为在课堂上要适当进行数学活动.教材中关于古典概型的教学内容是这样安排的：给出试验，分析实验结果.再给引例加深扩大对实验结果的认识，最后给出定义.这样的安排顺序，目的就是遵循学生的认识规律，即由感性认识逐渐上升到理性认识的认识规律.因此教师在教学时要精心设计教学过程，通过充分引导学生感悟和有效思考实验及引例内容，来达到对其内涵的本质认识，然后再让学生互相交流讨论，找出共性，最后归纳定义.通过这样的数学活动，就可让学生建立正确的认知结构，从而达到对定义内容的深刻理解.如果没有给学生充分的思考时间，只靠教师的分析讲解来代替学生的思考和感悟，会造成教师反复强调学生仍然印象不深的状况.一句话：教师要充分地利用好教材教，而不是简单地教教材.前苏联数学教育家斯托利亚尔说过：“数学教学是数学（思维活动）活动的教学，而不仅是数学活动的结果——数学知识的教学.”所以只有当学生自觉参与数学活动，并且在活动中不断经历正确与错误的交替体验，形成正反两方面的活动经验，这样才能提高学生感悟数学的水平

3.对错误答案的认识

俗话说“失败是成功之母”，对数学而言亦是如此.历史上数学中的许多重要结论和结果都是在纠正错误的结果中得到的.就古典概型而言，数学史上就有许多数学家犯了将有序视作无序的错误.在概率论诞生之前，有一个流行于14世纪意大利的古代机会游戏：一个人掷3个骰子，另一个人猜点数和（史称“投掷问题”）.当时的数学家由于没有意识到顺序，他们认为9，10，11，12都有6种组合（如10=1+3+6=1+4+5=2+2+6=2+3+5=2+4+4=3+3+4）.但在玩这个机会游戏的过程中，得到10和11的次数总要超过9和12，到底是何种原因使理论计算与实验不相符合呢？这个令数学家困惑的疑团经历了3个世纪以后才由伽利略发现了原因：指出了有序与无序之别，从而得到点数和为10和11的情形各有27种，而9和12的情形各有25种，这样才能使计算与实验相吻合.另外教材中例3关于掷骰子的问题，实际上就是由数学史上概率论诞生前的“投掷问题”改编而成.当时的数学家也是通过玩游戏进行实验才出现了困惑，这也说明做实验是发现错误认识的很好途径.

因此教师在教学上要结合教材的实际，让学生多做实验，多交流，多体验，这样就能让学生有更多的机会暴露他们学习中的问题.而教师则通过不断地解决学生的问题来厘清教学内容的本质内涵，达到提高学生的认识能力和理解能力的教学目的.对新教材中列举的如抛硬币、掷骰子等例子，教师在教学时要充分利用，通过引导学生进行多媒体的模拟演练或实际操作试验，让学生加深直观感受，从而达到仅用口头说教也难以改变学生错误的目的，因为学生只有经历失误的过程，才能很好地形成和建立正确的新的知识结构.

参考文献

[1]沈金兴.概率论前史中“投掷问题”的历史相似性研究[J].数学教学，2008（5）.

[2]杨涛.概率教学中的“错误观念”转变的实践研究[J].中学数学教学参考，2008（8）.

（责任编辑金铃）

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